サーマルノイズ、ナイキストの論文
ハリー・ナイキスト
抵抗Ｒのノイズ電圧＝√（４ ｋＴＲ⊿ｆ）
有名なこの理論に関する論文
ジョンソンノイズ、ショットノイズ、フリッカノイズの導出法を教えて下さい。| OKWAVE
を紹介する。翻訳もしてみました。
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ＴＨＥＲＭＡＬ ＡＧＩＴＡＴＩＯＮ
ＯＦ ＥＬＥＣＴＲＩＣ ＣＨＡＲＧＥ
ＩＮ ＣＯＮＤＵＣＴＯＲＳ
Ｈ．ＮＹＱＵＩＳＴ
１９２８
Nyquist.pdf－－－－－－－－－－－－－－－－
ジョンソンはコンダクタの電圧の発見と測定について報告した。それはコンダクタのの温度と簡単なる関係があり、コンダクタの電気的キャリアの温度による運動に帰されていた。この仕事はその後へつながってゆき、熱力学や統計力学からこの電圧が理論的演繹で導かれる。
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抵抗Ｒの２つの導体を考える。それらはＦｉｇ．１のように同じ温度Ｔでありつながっている。導体Ⅰの電圧は電流を生じさせる。その値はその電圧を２Ｒで割ったものである。この電流は導体Ⅱにおいて発熱あるいはパワーの吸収を引き起こす。吸収されるパワーはＲ×電流の２乗である。言い換えれば、パワーは導体ⅠからⅡへ移る。同様にパワーは導体ⅡからⅠにも移る。２つの導体が同じ温度であることから、パワーの流れは両方向で平衡していることが熱力学の第２法則からいえる。前提は２つの導体の物質にはよらないことは指摘されるだろう。１つが銀、もうひとつが鉛、あるいは、１
つは金属、もうひとつが電解液などと。
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この平衡状態が想定された状態下での導体による全パワーの交換だけで成り立つのではなく、任意の周波数間においても成り立つことを示すことができる。もし、そうでなかったとする。Ａを周波数帯域とする。その中で導体Ⅰは受け取った以上のパワーを出す。帯域Ａが他の帯域よりおおくのエネルギを移動させるように２つの導体を無損失なものでつないだとする。例として、Ｆｉｇ．２のようなＡの帯域内の共振回路がつながれたとする。この回路がつながれる前では、２つの導体のパワー交換は平衡であったから、つないでいる回路は導体Ⅱから導体Ⅰのより多くのパワーを移動させる、とい
ことになる。しかし、導体は同じ温度であるから、熱力学の法則に合わない。我々は熱電圧は周波数に無関係であり、抵抗値と温度のみによる、という重要な結果に到達する。
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この関係を決めるため、Ｆｉｇ．３にあるような長い無損失伝送ラインでつながれた２つの抵抗Ｒを考える。単位長さのインダクタンスと容量はＬ，Ｃであり、√（Ｌ/Ｃ）＝Ｒになっている。輻射を防ぐため、片方の導体がもう一方の導体の中にあるかもしれない。この状態では、伝送線路の特性インピーダンスがＲとなっているため反射などは起こらない。ラインの長さをｌ、伝搬そくどをｖとする。熱平衡になったとき、温度はＴとなった。伝送ラインでのエネルギー移動に２つの流れがある。図で左から右で、パワーは導体Ⅰにより送られれ、導体Ⅱにより受け取られる。その逆もある。
...
熱平衡のあとで伝送ラインを２つの端子にショート回路を使うことで２つの導体から絶縁する。この状態では完全な反射が２つの端部である。ラインにあるエネルギーはとじこめられる。今、反対方向に移動する２つの流れとしてライン上の波を描写する代わりに、各周波数での振動としてラインを描写すつことが可能となる。低い周波数に対応して電圧波は各々の端部で節をもち、中間にはない。この振動モードに対応した周波数はｖ／２ｌである。次に高い可能な周波数は２ｖ／２ｌである。この振動モードでは節は両端と真ん中にある。同様に可能な周波数は３ｖ／２ｌ、４ｖ／２ｌなどである
。νからν＋ｄνの周波数範を考える。この範囲での振動モード数は２ｌｄν／ｖであり、ｌは十分大きくとられる。この状態では、定義された量として各自由度当たりの平均エネルギーを論じることが可能となる。各自由度に対して、熱平衡の法則により、平均でｋＴのエネルギーが対応する。ｋはボルツマン定数である。このエネルギーの半分は磁気で残りは電気である。ｄν内の全振動エネルギーは２ｌｋＴｄν／ｖである。しかし、輻射はないためｌ／ｖに時間かけて２つの導体から移動する周波数帯内のエネルギー
である。時間間隔ｌ／ｖの間に周波数帯ｄν内で各導体からラインに運ばれる平均エネルギーはｋＴｄνである。
...
Ｆｉｇ．１で、両方の導体の電圧による電流が、その電圧を２Ｒで割ったものにより得られるというところがうえで指摘された。そして、他の導体へのパワーの移動はＲ×電流の２乗であることが得られた。もしｄν内の電圧の２乗がＥ＾２＊ｄνと書かれるならば、つぎのようになる。
Ｅ＾２ｄν＝４ＲｋＴｄν （１）
これは純粋抵抗Ｒと温度Ｔでの熱電圧の表式である。
ーーーーーーーー 訳者からーーーーーーーーーーーーーー
＞ この振動モードに対応した周波数はｖ／２ｌである。次に高い可能な
＞周波数は２ｖ／２ｌである。この振動モードでは節は両端と真ん中にある。
＞同様に可能な周＞波数は３ｖ／２ｌ、４ｖ／２ｌなどである。
＞νからν＋ｄνの周波数範を考える。
＞この範囲での振動モード数は２ｌｄν／ｖであり・・・
＞ｄν内の全振動エネルギーは２ｌｋＴｄν／ｖである。
【解説】
長さｌの伝送ラインに存在できる周波数はｎｖ／２ｌである。今、
ν１＝ｎ１ｖ／２ｌ
から
ν２＝ｎ２ｖ／２ｌ
までの間、ｄν＝（ｎ２－ｎ１）ｖ／２ｌのなかに存在できるモード数は
ｎ２－ｎ１＝２ｌｄν／ｖ
となる。１モードの平均エネルギーはｋＴだから、ｄν内のモードの平均エネルギーは、
ｋＴ（ｎ２－ｎ１）＝２ｌｋＴｄν／ｖ
となる。
＞輻射はないためｌ／ｖに時間かけて２つの導体から移動する
＞周波数帯内のエネ＞ルギーである。時間間隔ｌ／ｖの間に
＞周波数帯ｄν内で各導体からラインに運ばれる平均エネルギーは
＞ｋＴｄνである。
【解説】
導体から送り出されたエネルギーがラインを満たすにはｌ／ｖの時間がかかる。それは他方の導体に吸収されている。これからｄνないで各導体からラインに単位時間に運ばれるエネルギーは、ライン上のエネルギー２ｌｋＴｄν／ｖを
で信号の移動時間ｌ／ｖで割り、それが各導体からであるからさらに２で割った値、
ｋＴｄν
に等しい。
＞Ｆｉｇ．１で、両方の導体の電圧による電流が、その電圧を２Ｒで割っ
＞たものにより得られるというところがうえで指摘された。そして、他の導体
＞へのパワーの移動はＲ×電流の２乗であることが得られた。もしｄν内の
＞電圧の２乗がＥ＾２＊ｄνと書かれるならば、つぎのようになる。
＞ Ｅ＾２ｄν＝４ＲｋＴｄν （１）
＞ これは純粋抵抗Ｒと温度Ｔでの熱電圧の表式である。
【解説】
片方の導体のｄν範囲の電圧実効値による電流Ｉはこれを２Ｒで割ったものだ。そしてこの導体から送り出されるパワーは
Ｒ＊電流実効値＾２＝Ｒ＊（電圧実効値／（２Ｒ））＾２＝電圧実効値＾２／（４Ｒ）
これがｋＴｄνに等しいので、
電圧実効値＾２＝４ＲｋＴｄν
連続スペクトルの場合には、電圧実効値＾２は、各周波数での電圧密度をＥとすればＥ＾２ｄνと書けるので、
Ｅ＾２ｄν＝４ＲｋＴｄν
となり、次となる。
Ｅ＝√（４ＲｋＴ）
ーーーーーーーーーーー 解説終わり ーーーーーーーーーーーーーー
フィジカルレビューの掲載された論文です。１９２８年です。
http://cis.k.hosei.ac.jp/~kano/opt/opt_08.pdf#search='ショットノイズ'
http://www.setsunan.ac.jp/lw/lecture/EeMesure/2012/Lect-05.pdf#search='ショットノイズ'
参考
－－－－ 【参考】 －－－－－－－－
ある自由度の可能なエネルギーは連続とする。ある自由度がＥとＥ＋ｄＥの中に いる確立 はｑ（Ｅ）ｄＥである。分布ｑ（Ｅ）＝Ａｅ－Ｅ／ｋＴを使い、その自由度が可能なエネルギーにいる確立
Ａ∫ｅ－Ｅ／ｋＴｄＥ＝ＡｋＴ ＝１
より
Ａ＝１／ｋＴ
その自由度の平均エネルギー
＝１／ｋＴ∫Ｅｅ－Ｅ／ｋＴｄＥ＝（ｋＴ）２／ｋＴ＝ｋＴ
つまり各自由度はｋＴという平均エネルギーをもつ。
分布 ｑ（Ｅ）はその自由度がＥにいる確立、連続ならＥ，Ｅ＋ΔＥのあいだにいる確立。となるが、一方、多数の自由度でＥになっている粒子の個数、ＥとＥ＋ΔＥの間にいる粒子の個数という意味もある（確立×全自由度数）。
統計
ボルツマン ：ａはここに、ｂはそっちにいる。（粒子区別）つまり配置数はそれを区別。
つまり（ａは１，ｂは２）と（ｂは１、ａは２）は違う配置とする。
Ｇ＝Ｎ！Πｉ＝１ｋｇｉｎｉ／ｎｉ！
これを最大にするｎｉ分布を計算する。
ボーズ ：粒子は区別しないで、配置考える。１つの状態にいくつでもはいれる。
フェルミ ：粒子は区別しないで、配置考える。１つの状態には１個しか入れない。
ある振動数νの振動子の可能なエネルギーはΔＥ（ｈν）の整数倍であるとする。
振動子が可能なエネルギーにある確立
＝ＡΣｎ＝０ｉｅ－ΔＥｉ／ｋＴ＝Ａ／（１－ｅ－ΔＥ／ｋＴ）
＝１
∴ Ａ＝（１－ｅ－ΔＥ／ｋＴ）
その振動子の 平均エネルギー
＝ＡΣｎ＝０ｉΔＥｉｅ－ΔＥｉ／ｋＴ＝ＡΔＥｅ－ΔＥ／ｋＴ／（１－ｅ―ΔＥ／ｋＴ）２
＝ ΔＥｅ－ΔＥ／ｋＴ／（１－ｅ―ΔＥ／ｋＴ）
＝ ΔＥ／（ｅΔＥ／ｋＴ－１）
ｌｉｍ ΔＥ（実はｈνのこと）――＞０で各状態の平均エネルギーは
ーー＞ ｋＴ
となり 状態の取り得るエネルギーが連続なときに等しくなる。
以下の結果を使った。
Ｅｉ＝Σｎ＝０ｉ ｎｒｎ
Ｅｉ－ｒＥｉ＝ｒ＋ｒ２＋２ｒ３＋．．．＋ｒｉ－ｉｒ（ｉ＋１）
＝ｒ（１－ｒｉ－１）／（１－ｒ） －ｉｒ（ｉ＋１）
Ｅｉ＝ｒ（１－ｒｉ－１）／（１－ｒ）２ －ｉｒ（ｉ＋１）／（１－ｒ）
分布のもとめ方
ＥをΔＥの幅で分割して、各ΔＥ（Ｅｉ ）内のｇｉ 個の状態（自由度）に ｎｉ のものがいるとする。このｎｉ個がｇｉ 個の状態に配置される。そしてこのｎｉ個のＥはＥｉである。
そしてこれによりＮ個の全配置数が最大になるように ｎｉが決められる。ガウス分布のように平均が最大とおなじになるからか？そして、
ｎｉ ／ ｇｉ
が１状態（自由度）当たりに何個いるかという量である。ΔＥとｇｉのとりかたはーー＞０ なので結果に影響しない。
おもしろいアイデアである。
等分配則（古典統計により次のようになるらしい。 どうして？？）
回転 １／２ｋＴ
振動 ｋＴ
並進 １／２ｋＴ
２つの物が熱的にくっつくと各自由度に上の配分でエネルギーは分配される。多自由度のもののほうがエネルギーを食う。そして＜同じ温度＞になる。つまり等分配されるこのエネルギーこそ温度に比例した量である。
また圧力は並進運動による。分子が壁に当たることによる。
