スタインメッツの交流理論の証明

ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/6/13）投稿日：2016/6/13

　交流理論の完全な証明

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160282843

交流回路の電圧等の複素数表示について疑問があります。

交流電圧をcos波で表した場合、便宜上expで表して計算すると思います。
しかし、これは厳密にはイコールは成り立ちません。

ネットで調べても電圧などをexpで表せる理由を説明しているものはないのですが、
複素数表示を導入する際、expの実数部分のみを考えているという認識、
つまりcos...=Re(exp...)と考えて計算しているという認識でいいのでしょうか？
便宜上数学的処理が簡単になるから複素数表示を導入しているという点は理解しています。
ただ複素数表示をする際にイコールが成り立たない点に気持ち悪さを感じています。

よろしくお願いいたします。

■回答

ａ＊ｃｏｓ（ωｔ＋θ）
を
Ｒｅ（Ａ＊ｅｘｐ（ｊωｔ））
Ａ：複素数
｜Ａ｜＝ａ
ａｒｇＡ＝θ
ａｒｇはＡの偏角です。
と書きます。ΘをＡに含められるのがみそです。

■ここで下の回路を考えます。

ｅ＝ｅ０ｃｏｓ（ωｔ）
として、Ｉを求めます。
ｉ＝ｉ０ｃｏｓ（ωｔ＋θ）
となることは確かであり、ｉ０とθが未知です。
これを、
ｅ＝Ｒｅ（Ｅ０＊ｅｘｐ（ｊωｔ））－－（１）
Ｅ０＝ｅ０
ｉ＝Ｒｅ（Ｉ０＊ｅｘｐ（ｊωｔ））－－（２）
｜Ｉ０｜＝ｉ０
ａｒｇ（Ｉ０）＝θ
と書き変えます。
ｉの方程式は
ｅーｉ＊ＲーＬ＊ｄｉ／ｄｔ＝０
これに（１）（２）を入れて、Ｒｅを外に出すと、
Ｒｅ（（Ｅ０－Ｉ０＊Ｒ－ｊωＬ＊Ｉ０）ｅｘｐ（ｊωｔ））＝０－－（３）
Ｂ＝Ｅ０－Ｉ０＊Ｒ－ｊωＬ＊Ｉ０
と置くと、
Ｒｅ（Ｂ＊ｅｘｐ（ｊωｔ））＝０－－－（３’）
これがあらゆるｔで成り立つためには、
Ｂ＝０
でなければなりません。つまり、
Ｅ０－Ｉ０＊Ｒ－ｊωＬ＊Ｉ０＝０
がなりたたねばなりません。これから、
Ｉ０＝Ｅ０／（Ｒ＋ｊωＬ）
となり、（２）式からｉ（ｔ）が求まります。
Ｉ０はフェイザと呼ばれます。そして、時間関数にしないでＩ０をそのままつかいます。ｉ（ｔ）にする必要がないのです。これが交流理論です。
Ｉ０には振幅とｅとの位相差θが含まれています。
Ｉ０は正弦波生成の動径であり、その長さが振幅であり、偏角がｅとの位相差を表しています。交流理論では、この動径のみで表示します。