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うひょひょ

交流理論(exp(jωt))に関する面白い質疑

ライター:mpcsp079さん(最終更新日時:2016/5/24)投稿日:2016/5/24

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交流理論(exp(jωt))に関する面白い質疑  

 

 

 オイラーの公式を利用した正弦波の取り扱いに関する質問と回答である。誤った回答はBAとなった悲惨な例である。

 

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13159541693#a391634122

 

オイラーの公式から

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 が導かれ、
x方向に進む波動
cos(wt-kx)が (e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2
と表されるのはわかりましたが、
これがE=E0e^(-iwt+ikx)
になるのがわかりません。1/2も無くなってるし、項も減ってしまってます。
こんなに端折っていい理由は何なのでしょうか。
それからcosだと実数部だけ考えて、sinだと虚数部だけ考える、というのも意味がわかりません。
なんで実部とか虚部を無視できるのでしょうか。

 

■誤った質疑

実係数の微分方程式では、入出力に対して共役をとったものも成立する(微分方程式の線形性から)
だもんで、
E0e^(-iwt+ikx) に関する結果がわかれば、それの共役をとればE0e^(iwt-ikx)の結果もわかる
だもんで、一方だけ計算すればよいし、2の係数も全体にかかってくるので一々計算しなくてもよい

あと、実部(か虚部)だけ使うってのは、 (e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2 のような(複素数複素数の共役)/2 てのが複素数の実部を取り出す、って操作と一致しているから
先のように、実係数微分方程式の解は、共役複素に対しても成立するので、一方を計算して実部だけ取り出してもOK
(で、変位が一次元の波動だと変位が実数解になるので、実部だけを取り出す、てな処理をしたり)

変位が二次元の波動だと、変位そのものを複素数表記するので、また話はちょっとかわったりする

 

振動を複素数で扱うとき
cos(x)=*1/2 として扱う場合と
cos(x)=Real[exp(jx)] で扱う場合と
ある

両者は関係付けることもできるけど、
混在して使うと混乱するので、どちらか一方で扱うほうがよいかなと

ご質問者は、この二つの方式を混在させて、混乱してるような

 

あ、なんかわかりそうな感じになってきました。
わたしが扱ってるのは実係数の微分方程式なのか?
変位が二次元の波動との違いを確認したいと思います。わたしがイメージしてるのは全反射のときに生じる浸み出し光とかですが。。

 

(e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2 のような(複素数複素数の共役)/2
指数部分は共役になってますが、
(e^(iwt-ikx)とe^(-iwt+ikx)が共役ではないように思うのですが、どうなのでしょうか。

 

通常、物理現象を記述している微分方程式は実係数になっています
(例外:xy平面を複素平面に対応させて、複素数の空間ベクトル表記した場合には、実係数ではありませんが)

exp(±ix)=cos(x)±sin(x) (複号同順)

e^(-iwt+ikx)=e^(-(iwt-ikx)) と e^(iwt-ikx) は共役です

 

確かに・・・共役ですね・・・

>E0e^(-iwt+ikx) に関する結果がわかれば、それの共役をとれば
>E0e^(iwt-ikx)の結果もわかる

すみません。なにか、具体例ありますか?
直観的に分かるような気もするのですが、本当に分かっているのかどうかわかりません。(>_<)

 

 

2変数の具体例となるとちょっと良いのが思い浮かびません

一般的な話なら、比較的簡単で
ある線形実係数微分方程式があるとして、x(実数)に対する解をF(x)とすると
F(x)は実数
方程式の線形性から
F(x±iy)=F(x)±iF(y) になり解も複素共役、てな話になります
(同時に、x±iy=exp(a±ib)に対する解は、F(x),F(y)が実部、虚部それぞれ独立に現れる、というのも示したことに)

 

補足に書きたかったのですが編集できないのでここに書きます。
皆様のコメントのうち分かるところだけでどうにかまとめます。

cos(wt-kx)= (e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2
の右辺は共役の和だから実数になる。敢えてRe[]をつけて以下の式になる。
cos(wt-kx)=Re[(e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2]
電界の式は
E=E0cos(wt-kx)=Re[E0(e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))]。
(1/2はE0に含めた。OK?)

右辺の第一項と第二項は言ってみたら螺旋の右回りと左回りみたいな関係で一方が分かればも片方も分かる。どうせ知りたいのは実数部分だけなので、
E=E0cos(wt-kx)=Re[E0(e^(iwt-ikx))]
と書ける。

で、良いですか?

あれ?(iwt-ikx)じゃなくて(-iwt+ikx) ですか?

 

 

「E=E0cos(wt-kx)=Re[E0(e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))]」
ではなくて
E=E0cos(wt-kx)=Re[E0(e^(iwt-ikx)]
です
第二項は不要

A. cos(wt-kx)= (e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2
を使う流儀(フーリエ変換を扱う分野、通信などではこっちの流儀を使うことも多い)と
B. cos(wt-kx)=Re[(e^(iwt-ikx)]
を使う流儀(交流回路計算などではこちらの流儀が多い)
は考え方が少々異なるので、どちらか一方にするほうがよいかなと

A.については「右辺の第一項と第二項は言ってみたら螺旋の右回りと左回りみたいな関係で一方が分かればも片方も分かる。」でOK

B.も同様な解釈でもいけるけど、実部と虚部がそれぞれ独立に算出できるから、計算が楽になるように、虚部がついた状態で計算して、そのあと取り除く、でもよいかも

 

 

私はどちらかというとフーリエ変換を使う分野な気がします。
が、Bの流儀だった場合、

(iwt-ikx)を選ぶか、(-iwt+ikx)を選ぶか、に何かルールはありますか?

 

Bのやりかたで、i(wt-kx) とi(kx-wt)のどちらを使うか、は、理屈の上ではどちらでもOK
あとは、慣習で選ぶことになるでしょうが、両方使われてるような気はします

 

私が見ている本やウェブ上の情報では
-iwt を使っているものばかりですが、どんな理由があるかおわかりになりますか?

 

ものすごく感覚的な話で恐縮ですが、空間上の波動を扱う際に、
空間での分布を先に見るか
(ある点での)時間変化を先に見るか

kx-wt と wt-kx のどちらを使うか、
に絡んできている感じはあります
(空間分布がまずあって、それが時間的にどう変わるか、という捉え方をする場合には kx-wt
ある点での時間変化がまずあって、それが空間を移動するとどう変わってゆくか、という捉え方だと wt-kx)
根拠も何もない、感覚的な話ですが

 

お礼

皆様からのコメントを読んで理解できたことがありました。
(まだわからないことの方が多いですが)
私の知りたいことに答えて下さったり、何度もしつこく質問したのに答えて下さったので、ベストアンサーとさせて頂きます。
ありがとうございました。

 

 

まったくアホな回答であり、笑える

 

 

ーーーーーーーーー

蹴られた私の回答

ーーーーーーーー
オイラーの公式から
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 が導かれ、
x方向に進む波動
cos(wt-kx)が (e^(iwt-ikx)+e^(-iwt+ikx))/2
と表されるのはわかりましたが、
ーーーーーーーー
これ違いまっす!
正弦波での定常状態を表す方法です。
こう考えてください。
各点xで
A(x)*sin(ωt+θ)
であるとします。これを、
Re(B(x)*e^(jωt))
|B|=A
tanー1(B)=θ
という表示に変えます。
これを進行波を解とする方程式に代入し、Reを外に出してしまうと、
Re((Bの式)e^(jωt))=0
これは、
Re(Bの式)=0
これの必要十分条件は、
Bの式(複素数)=0
単純な進行波の場合、
B1=b1*e^(ーjkx)
あるいは、
B2=b2*e^(jkx)
が解として出てきます。
そこで、解は、
b1*e^j(ωt-kx)

b2*e^j(ωt+kx)
となるのです。


参考に
交流理論 正弦波でのマクスウェル方程式、フェイザ

交流理論 正弦波でのマクスウェル方程式、フェイザ - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)

結果のReをとるのですが、そのままでもいいので複素数のままいってしまっています。

これも参考に

電気回路、回路理論、スタインメッツ交流理論の技法

電気回路、回路理論、スタインメッツ交流理論の技法 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)

これも参考に

交流理論の完全な証明

交流理論の完全な証明 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)

もう一度言えば、
Re(B*e^(jωt))
を方程式に入れると、複素数の解Bが出てくる。
本来はReをとるべきであるが、通常複素数のまま考えても構わない。

この方法のいいところは
sin(ωt+θ)
という位相θを
B*e^(jωt)
という形でBに取り込めることです。
つまり、時間項がどの点でもe^(jωt)となり、約すことが可能になります。

複素数表現にすることで、位相θ項を係数の中にふくませられる、つまり、掛け算の形にできるので式が簡単になる、時間項e^(jωt)を割ることで取り除くことができるのです。

 

美味しそうですね。。。じゃなくって、えーと。。リンク頂いたのが難しいです(-_-) すみません。馬鹿すぎて申し訳ないです。

 

コラ!
しっかりやれ!

どこがわかりませんか?
この問題は難しいのです。

これでも食らえ!

 

わーごめんなさい。
Bの式ってどの式かなっていうレベルでわかりませんでした。ほんとにすみません。こんなのわかるくらいだったら物理とかを専門にしてると思います。DNA的に不可能です。

 

 

なるへそ・・・
うーーーん
専門は何でちゅか?
どのレベルでちゅか?
どうしてこの問題が出てきたのでちゅか?

 

専門は生物です。全反射を利用したスペクトル測定の勉強をしていたらこんなところに来てしまいました。ちょっと迷子です。

 

なるへそ・・・
それなら、必要ですね
しっかりやってください。
EXP(iωt)
方式が理解できないと、だめですね

ーーーーーーーーーーーーー
正弦波での定常状態を表す方法です。
こう考えてください。
各点xで
A(x)*sin(ωt+θ)
であるとします。これを、
Re(B(x)*e^(jωt))
|B|=A
tanー1(B)=θ
という表示に変えます。
ーーーーーーーーーーーーーー
これがカギです。

 

なんでtanが出てくるんでしょうか・・・?
ちょっと今すぐには理解でき無さそうです。
しかしこの問題は今後も直面しますので少しずつ理解できるように勉強します。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*1:exp(jx)+exp(-jx