■質問
交流回路について写真のような問題が与えられたのですが、これはどのよ... - Yahoo!知恵袋
交流回路について 写真のような問題が与えられたのですが、これはどのようにして求めるのでしょうか？ 瞬時値の公式の最大電圧と位相差を置き換えるだけですか？
■解答
ｖ＝Ｉｍ（Vmｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ）））
＝Ｉｍ（Vmｅ＾ｊΘｅ＾ｊωｔ）
複素数 E＝Vmｅ＾ｊΘ として、
＝Ｉｍ（Ｅｅ＾ｊωｔ）
ＶＲ＝ＥＲ／（Ｒ＋１／ωＣ）
ＶＣ＝Ｅ（１／ｊωC）／（Ｒ＋１／ｊωＣ）
ｖＲ＝Ｉｍ（ＥＲ／（Ｒ＋１／ｊωＣ）ｅ＾（ｊωｔ））
＝Ｉｍ（ＶｍＲ／（Ｒ＋１／ｊωＣ）ｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ）））
＝Ｉｍ（ＶｍＡｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ＋φＲ）））
＝ＶｍＡｓｉｎ（ωｔ＋Θ＋φＲ）＜ーー答え
Ａ＝R／√（Ｒ＾２＋１／（ωＣ）＾２）
φＲ＝ａｒｃｔａｎ（１／（ＲωＣ））
ｖＣ＝Ｉｍ（Ｅ（１／ｊωC）／（Ｒ＋１／ｊωＣ）ｅ＾ｊωｔ）
＝Ｉｍ（Ｖｍ（１／ｊωC）／（Ｒ＋１／ｊωＣ）ｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ）））
＝Ｉｍ（ＶｍＢｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ＋φＣ）））
＝ＶｍＢｓｉｎ（ωｔ＋Θ＋φＣ）＜ーー答え
Ｂ＝√（１／（１＋（ＲωＣ）＾２））
φＣ＝ａｒｃｔａｎ（ーωＲＣ）
■別解
スタインメッツの交流理論を使わないとこうなります。
ymd********さん
2023/2/22 0:15
「瞬時値の公式の最大電圧と位相差を置き換えるだけですか？」
うーん・・・まあ、結果的にはそういうことですが、『何に』置き換えればよいかを求めるのがたいへんなんですよ。
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この問題、「図12に示す・・・・印加されたとき」ではなく、「図１２に示す・・・・印加されてから十分長い時間が経ったとき」の、vR(t)とvC(t)を求める問題だと思います（＊）。十分長い時間が経ったとき、vR(t)、vC(t)、電流 i(t)等は電源電圧と同じ周波数の正弦波で変化しています。この状態を定常状態といいますが（ご存じですよね）、この問題は定常状態の問題のようです。
定常状態を解くには複素記号法（サムさんの解き方）が便利ですが、サムさんとのやりとりを読むと、まだ習っていないようなので、その『前段階の方法』で解きます。
複素記号法を知ると「こんなに等楽に解けるんかいな！今までの苦労は何だった？」と思うと思います。が、『前段階の方法』での苦労がないと、複素記号法での解けるようになっても、解けるけど何で解けるがわからん、という状態になる可能性があります（こういう人、何人も知ってます）、何で解けるかわかるようになるために、『前段階の方法』の苦労をしてください。
まず、コンデンサの電荷q(t)（上電極の電荷）を未知数とし（＊＊）、
q(t)＝Qo sin(ωt＋α)・・・・（１）
と置いて、Qo とαを求める。
コンデンサにおいて、
i(t)＝dq(t)/dt （i(t)：右回り）・・・・（２）
q(t)とvC(t)の関係は、
q(t)＝C vC(t) ∴ vC(t)＝(1/C) q(t)
この式に（１）式を代入すると、
vC(t)＝(1/C)Qo sin(ωt＋α)・・・（３）
vR(t)とi(t)の関係は、
vR(t)＝Ri(t)
この式に（２）式を代入すると、
vR(t)＝Rdq(t)／dt
この式に（１）式を代入すると、
vR(t)＝RωQo cos(ωt＋α)・・・・（４）
キルヒホッフの電圧則より、
vC(t)＋vR(t)＝Vmsin(ωt＋θ)
この式に（３）式と（４）式を代入すると、
(1/C)Qo sin(ωt＋α)＋RωQo cos(ωt＋α)＝Vmsin(ωt＋θ)
左辺に三角関数の合成公式（＊＊）を使うと、
Qo {√[(1/C)^2＋(Rω)^2] } sin(ωt＋α＋β)＝Vmsin(ωt＋θ)
（ただし、β＝Arctan[Rω/(1/C)]＝Arctan(RωC)]）
両辺を比較すると、
Qo√[(1/C)^2＋(ωR)^2]＝Vm かつ α＋β＝θ
すなわち、
Qo＝Vm/√[(1/C)^2＋(ωR)^2] かつ α＝θーβ
であれば、両辺は等しいことがわかる。Qoとαが求まり、
q(t)＝{ Vm/√[(1/C)^2＋(ωR)^2] } sin(ωt＋θーArctan(RωC))・・・・（５）
（５）式を（３）式に代入すると、
vC(t)＝{ Vm/√[(1＋(ωRC)^2] } sin(ωt＋θーArctan(RωC))
（５）式を（４）式に代入すると、
vR(t)＝ { VmR /√[(1/C)^2＋(ωR)^2] }ωcos(ωt＋θーArctan(RωC))
ひさしぶりにこういうやり方で解いたので大丈夫かなと思ったが、サムさんの結果と一致したので、合ってると思う（異なるようにみえるかもしれないが、私の方は、vC(t)をsineで、vR(t)をcosineで表しいるのでそう見えるだけ。
sineとcosineで表すとカッコ中が同じになるので、vC(t)とvR(t)の位相差がちょうど90°であることがすぐにわかる。
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＊「図12に示す・・・・印加されたとき」だとすると、いつ印加されたか、印加する直前のコンデンサに電荷はあったか（あったとするとその電荷の値）がわからないと解けません（し、その場合は解くのがけっこう難しくなります）。
＊＊電流を未知数にしてももちろん解けますが、後で未知数を電荷に変えることになるので、最初から電荷を未知数にしました。
＊＊＊ Asinψ＋Bcosψ＝√(A^2＋B^2) sin(ψ＋β)。
ただし、β＝Arctan(B/A)
ナイス！
ymd********さん
2023/2/22 10:02
以前、複素記号法について、概略ですが、知恵袋の回答で説明しています。
興味があれば、
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14164101199
の私の回答（BAではない）をお読みください。
あわせて
参考
交流理論の完全な証明（スタインメッツの交流理論を証明する） - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
