交流理論の完全な証明
スタインメッツの交流理論を証明する
■素子の電圧と電流の関係
正弦波、定常状態での素子の両端電圧ｅと電流ｉの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。
抵抗Ｒなら、
ｅ＝Ｒ＊ｉ
インダクタＬなら、
ｅ＝Ｌｄｉ／ｄｔ
コンデンサＣなら、
ｅ＝∫（ｉ／Ｃ）ｄｔ
ここで、オイラーの公式を使い、、
ｅ（ｔ）＝Ｅ０ｃｏｓ（ωｔ＋Θ１）
＝Ｒｅ（Ｅ０＊ｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ１）））
＝Ｒｅ（Ｅ０＊ｅ＾（ｊΘ１）ｅ＾（ｊωｔ））
＝Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））
E＝Ｅ０＊ｅ＾（ｊΘ１）で複素数。
ｉ（ｔ）＝Ｉ０ｃｏｓ（ωｔ＋Θ２）
＝Ｒｅ（Ｉ０＊ｅ＾（ｊ（ωｔ＋Θ２）））
＝Ｒｅ（Ｉ０＊ｅ＾（ｊΘ２）ｅ＾（ｊωｔ））
＝Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
I＝I０＊ｅ＾（ｊΘ２）で複素数。
と表す。Ｅ，ＩはΘ１，Θ２を含む複素数で振幅と位相差を表していて、フェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。上の方程式にこれらを代入する。
抵抗Ｒなら、
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｒ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
インダクタＬなら、
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｌｄ（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））／ｄｔ
＝Ｌ（Ｒｅ（ｊωＩ＊ｅ＾（ｊωｔ）））
コンデンサＣなら、
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝∫（（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））／Ｃ）ｄｔ
＝Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω））／Ｃ）
ここで、微分とＲｅが交換できる、ということを利用した。
【交換可能の証明】
ｄＲｅ（ａ＋ｊｂ）／ｄｔ＝ｄｂ／ｄｔ
Ｒｅ（ｄ（ａ＋ｊｂ）／ｄｔ）＝ｄｂ／ｄｔ
すなわち
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＲ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＬ（Ｒｅ（ｊωＩ＊ｅ＾（ｊωｔ）））＝０
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＲｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω））／Ｃ）＝０
さらにこれは、
Ｒｅ（（ＥーＲ＊Ｉ）＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０
Ｒｅ（（ＥーＬ＊ｊωＩ）＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０
Ｒｅ（（Ｅー（Ｉ／（ｊωＣ）））＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０
これらが任意にのｔで成り立つためには、
ＥーＲ＊Ｉ＝０
ＥーＬ＊ｊωＩ＝０
ＥーＩ／（ｊωＣ）＝０
でなければならない。
つまり、
Ｒの場合、
Ｅ＝Ｉ＊Ｒ
Ｌの場合
Ｅ＝ｊωＬ＊Ｉ
Ｃの場合
Ｅ＝Ｉ／（ｊωＣ)
というフェイザ間の関係が出てくる。
正確な解はLの場合では、
ｉ（ｔ）＝Re（Ｅ／（ｊωＬ）＊ｅ＾（ｊωｔ））
となるが、交流理論では単に
Ｉ＝Ｅ／（ｊωＬ）
というフェイザ間の関係だけを示し、答えとする。
そして、
R
ｊωＬ
１／（ｊωＣ）
をインピーダンスと呼ぶ。
■方程式がＤＣ電源のときの抵抗回路と同じになる
正弦波の定常状態での解は、ＤＣ、抵抗回路の方程式で、Ｌ，Ｃでの電圧降下項を、
Ｒ＊ｉ－－＞Ｌｄｉ／ｄｔ、（１／Ｃ）∫ｉｄｔ
と置き換えればよい。
さらにこれは、
Ｒｅ（ｊωＬ＊Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））、Ｒｅ（（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊωＣ））
すると方程式は、ＤＣ回路と同じ方程式で、Ｌ，Ｃの部分を
Ｒｅ（ｊωＬ＊Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））、Ｒｅ（（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊωＣ））
に置きかえたものになる。この方程式が任意のｔで成り立つためには、
ｅ＾（ｊωｔ）を省き、Ｒｅをとる前の値の関係が、
同じ方程式を満足する必要がある。
つまり、Ｌ，Ｃの部分をＲとしたときの方程式を、
ｆ（Ｒ１，Ｒ２，・・・、Ｒｉ，・・・、Ｒｊ、・・・Ｒｎ）＝０
としたとき、Ｒｉの部分がＬ、Ｒｊの部分がＣであるとすると、
ｆ（Ｒ１，Ｒ２，・・・、ｊωＬ，・・・、１／（ｊωＣ）、・・・Ｒｎ）＝０
というフェイザＥ，Ｉに関する方程式になる。つまり、正弦波の定常状態での計算は、ＬをｊωＬ、Ｃを１（ｊωＣ）というインピーダンスにし、ＤＣ回路と同じ方程式をとけばいい。
抵抗回路と同じように、ある回路網の電圧と電流のフェイザの関係は、
Ｌ－－＞ｊωＬ
Ｃ－－＞１（ｊωＣ）
と置くことでＤＣ回路と同じように計算できる。こうして出てきた回路のＥ／Ｉの値（複素数）をインピーダンスという。
■実例
図1
図1で考える。方程式は、
ｅ＝ＶＲ＋ＶＬ＋ＶＣ
＝Ｒ＊ｉ＋Ｌｄｉ／ｄｔ＋（１／Ｃ）∫ｉｄｔ
ここで、
ｅ＝Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））
ｉ＝Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
とすれば、
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｒ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
＋Ｌｄ（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））／ｄｔ
＋（１／Ｃ）∫（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））ｄｔ
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｒ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
＋Ｌｄ（Ｒｅ（Ｉ＊ｊω＊ｅ＾（ｊωｔ）））／ｄｔ
＋（１／Ｃ）∫（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω）））ｄｔ
Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＲ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））
ーＬｄ（Ｒｅ（Ｉ＊ｊω＊ｅ＾（ｊωｔ）））／ｄｔ
ー（１／Ｃ）∫（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω）））ｄｔ
＝０
Ｒｅ（（Ｅ－Ｒ＊Ｉ－ｊωＬ＊Ｉ－Ｉ／（ｊωＣ））＊ｅ＾（ｊωｔ）））＝０
これがあらゆるｔで満足されるのは、
Ｅ－Ｒ＊Ｉ－ｊωＬ＊Ｉ－Ｉ／（ｊωＣ）＝０
のときだけである。よって、Ｉは、
Ｉ＝Ｅ／（Ｒ＋ｊωＬ＋１／（ｊωＣ）） ＜ーー答え
となる。
（Ｒ＋ｊωＬ＋１／（ｊωＣ））をインピーダンスという。
交流理論ではここまででいいのだが、実際の時間波形は、
ｉ（ｔ）＝Ｒｅ（（Ｅ／（Ｒ＋ｊωＬ＋１／（ｊωＣ）））＊ｅ＾（ｊωｔ））
となる。
