交流理論を適応してみる。図１の回路を計算する。
図１ 解析回路
■通常の方法では？
まず、交流理論を使わないでやってみる。信号源Ｖは正弦波で、電流Ｉも正弦波であるとする。
Ｖ＝Ａ＊ｓｉｎ（ωｔ） （１）
とする。
Ｉ＝Ｂ＊ｓｉｎ（ωｔ＋θ） （２）
となるだろう。
図１の回路の方程式は、
Ｖ＝Ｒ１＊Ｉ＋Ｌ１＊ｄＩ／ｄｔ （３）
これに、上の正弦波の式を入れると、
Ａ＊ｓｉｎ（ωｔ）＝Ｒ１＊Ｂ＊ｓｉｎ（ωｔ＋θ）＋Ｌ１＊Ｂ＊ω＊ｃｏｓ（ωｔ＋θ） （４）
これから、Ｂとθを求めなくてはいけない。これはむずかしい。
■交流理論
つぎに、交流理論でやってみる。
Ｖ＝Ａ＊ｅ＾（ｊωｔ） （５）
Ｉ＝Ｃ＊ｅ＾（ｊωｔ） （６）
（２）式のθは複素数Ｃに入っている。（３）式は、
Ａ＊ｅ＾（ｊωｔ）＝Ｒ１＊Ｃ＊ｅ＾（ｊωｔ）＋ｊω＊Ｌ１＊Ｃ＊ｅ＾（ｊωｔ） （７）
ここでｅ＾（ｊωｔ）で割ります。すると、単なる係数Ｃについての代数方程式となってしまう。
Ａ＝Ｒ１＊Ｃ＋ｊω＊Ｌ１＊Ｃ
Ａ＝Ｃ＊（Ｒ１＋ｊω＊Ｌ１）
Ｃ＝Ａ／（Ｒ１＋ｊω＊Ｌ１） （８）
ということになる。（８）式はＡとＣの位相差をも示している。つまりこれが（２）式のθに相当する。Ａが実数なら、θはＣの偏角である。
θ＝ーｔａｎー１（ωＬ１／Ｒ１）
ここで、ｔａｎ－１はｔａｎ（θ）＝ａのときｔａｎ－１（ａ）＝θの意味である。
電流Ｉの振幅｜Ｉ｜は、
｜Ｉ｜＝Ａ／（（Ｒ１＋ｊω＊Ｌ１）の長さ）
＝Ａ／（√（Ｒ１＾２＋（ω＊Ｌ１）＾２））
となる。つまり、Ｉの振幅とＶとの位相差θが求まった。
この場合、Ｒ１のインピーダンスはＲ１、Ｌ１のインピーダンスはｊωＬ１として、抵抗計算をすればいいことになる。インピーダンスとは交流理論に出てくる電圧／電流を表す複素数を言う。そこには振幅と位相差の関係が示されている。
■図的開放
交流理論は図的な解法である。
図２ 交流理論の図
上の問題を図で考える。交流理論は正弦波を図で考える方法である。そもそも正弦波とはωｔという角速度でぐるぐる回る動径（フェイザ）を、たとえば図２でいえば、実数軸に射影したものである。交流理論ではこの動径の位置の座標を複素面上で考えるのである。
図２で、Ｖをまず実数軸上に考える。ここで、もしＩも実数軸上にとれば、抵抗Ｒ１のこのＩによる電圧とＬ１のＩによる電圧は図２のようになる。この２つの正弦波の合成は、時間軸上、つまりこの図の実数軸への射影のみで考えると難しいが、動径で考えるとたやすい。つまり、図のようなベクトルの合成則に従う。つまり、おのおのの成分を足せばいい。これがＲ１とＬ１の直列回路に電流Ｉが流れたときの電圧である。この電圧がＶに等しい条件でＩを求めるのである。
すると、上の計算になり、Ｉの大きさとＶとの位相差が容易に求まるのである。このように、正弦波をその動径（フェイザ）で考えることにより、さらにその動径を複素面に考え、複素数の演算則を利用することによって、正弦波信号の定常解の算出は容易になってしまう。どんなに複雑な回路でも、システマチックにできるようになる。
つまり、正弦波を２次元空間での位置と考えることによって、見通しをよくするのである。わけのわからないものでも、上から見ると簡単な構成であることがわかるのである。天才的なアイデアですね（＾＾
■正弦波の和の図的解法
図３ 正弦波の和
図３にうおいて、正弦波の合成について考える。正弦波ＡとＢは、位相差がθである。これを図の右の時間領域でみると難しい。しかし、左の動径（フェイザ）で見ると簡単になる。波形ＡとＢの和は、動径ＡとＢの和が生み出すものだ。
動径の角度のｓｉｎをとってから和を考える（図３の右）のではなく、動径（フェイザ）の段階（図３の左）で和をとってしまうのである。
これが交流理論の神髄である。動径の座標は複素数であるが、それをそれぞれ足し合わせた結果が和の動径（フェイザ）の座標となる。交流理論ではこの動径（フェイザ）のみを問題とする。
このようにすると、正弦波同士の和が簡単になるのである。時間波形で和を考えるのではなく、動径（フェイザ）で和をとるのである。
