伝達関数Ｇ（ｓ）の周波数特性
水上「自動制御」朝倉書店より、
Ｇ（ｓ）なるシステムの周波数応答にいて
振幅Ａ、角周波数ωの正弦波は
Ａ＊ω／（ｓ＾２＋ω＾２）
であるから、これがＧに入れば、
Ｙ(s)＝Ｇ（ｓ）＊Ａ＊ω／（ｓ＾２＋ω＾２）
ここで、
Ｇ＝Ｎ／Ｄ
Ｄ＝（ｓ－ｓ１）＊・・・＊（ｓ－ｓｎ）
また、
ｓ＾２＋ω＾２＝（ｓ－ｊω）（ｓ＋ｊω）
Ｙ＝Ｋ１／（ｓ－ｓ１）＋Ｋ２／（ｓ－ｓ２）
＋・・・＋Ｋｎ／（ｓ－ｓｎ）
＋Ｋａ／(ｓ－ｊω）＋Ｋｂ／（ｓ＋ｊω）
これの逆変換ｙは、
ｙ＝Ｋ１＊ｅ＾（ｓ１＊ｔ）＋Ｋ２＊ｅ＾（ｓ２＊ｔ）
＋・・・＋Ｋｎ＊ｅ＾（ｓｎ＊ｔ）
＋Ｋａ＊ｅ＾（ｊω＊ｔ）＋Ｋｂ＊ｅ＾（ーｊω＊ｔ）
定常正弦波解は終わりの２項である。
ｙω＝Ｋａ＊ｅ＾（ｊω＊ｔ）
＋Ｋｂ＊ｅ＾（ーｊω＊ｔ） ーーー（１）
Ｋａ＝【Ｇ＊Ａ＊ω＊（ｓ－ｊω）／（ｓ＾２＋ω＾2）】
でｓ＝ｊωとする
＝Ｇ（ｊω）＊Ａ／（２ｊ）
Ｋｂ＝【Ｇ＊Ａ＊ω＊（ｓ＋ｊω）／（ｓ＾２＋ω＾2）】
でｓ＝ーｊωとする
＝Ｇ（ーｊω）＊Ａ／（ー２ｊ）
ここで、
Ｇ（ｊω）＝ＡＢＳ（Ｇｊω））＊ｅ＾（ｊθ）
とおけば、
Ｇ（－ｊω）とＧ（ｊω）共役だから、
Ｇ（ーｊω）＝ＡＢＳ（Ｇ（ｊω））＊ｅ＾（ーｊθ）
以上の関係を（１）式に代入すれば、
ｙω（ｔ）＝ＡＢＳ（Ｇ（ｊω））＊（Ａ／（２ｊ））
＊（ｅ＾（ｊω＊ｔ＋ｊθ）ーｅ＾（ーｊω＊ｔーｊθ））
＝ＡＢＳ（Ｇ（ｊω））＊Ａ＊ｓｉｎ（ω＊ｔ＋θ）
つまりＧ（ｊω）が周波数特性を表している。
参考
ｚ変換関数の周波数特性
Ｚ変換伝達関数の周波数特性 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
