磁化の等価電流密度ｊｍ＝ｒｏｔＭを証明する。
E－B対応で考える
磁化モデルを図１に示す。
■参考
電磁気 永久磁石の電流表現
電磁気 永久磁石の電流表現 - SonofSamlawのブログ
電磁気学 磁化と円電流の等価性の証明
電磁気学 磁化と円電流の等価性の証明 - SonofSamlawのブログ
磁化Mと磁場Hについて∗
図１ 磁化Ｍの電流モデル（定義かもしれない）
■図１の証明
無限に長いソレノイドの作る磁界Hは、
H＝Ⅰ／L
太さに関係なし、
となるので・・・
これを磁化Mと定義する。
■磁化Mの電流モデル E-B対応
磁化Mの電流モデル E-B対応 - SonofSamlawのブログ
図１のように、磁化Ｍを電流モデルで表す。磁化Ｍは単位長さ当たりの側面電流である。同時に磁界Hに等しい。これは磁化Mの定義と言ってもいい。
図２ Ｃで周回積分
図２は、磁化Ｍ場をＣで周回積分をしている。ここで、アンペールの周回積分の法則、
ときわ台学/電磁気学/電流が作る磁場：アンペールの法則とフレミングの左手の法則
「空間内の任意のループ C 上の磁場 H に関する線積分は，ループ C を縁とする曲面を正方向に通過する正味の電流 I に等しい」
を考える。
∲（Ｃ）Ｍ・ｄｌ
をしようとする。図２で、
Ｍ１・⊿Ｌ１、Ｍ２・⊿Ｌ２
は、上の意味でＭ１、Ｍ２の等価電流のＣ内の正味電流となっている。その他、Ｃ内にすっぽり入っているＭの等価電流は、＋－が入ってしまっているので、正味電流は＝０である。つまり、Ｃ内の正味電流はＣにかかるＭによるもののみとなる。つまり、アンペールの周回積分の法則から、
∲（Ｃ）Ｍ・ｄｌ
＝Ｃ内の正味電流Ｉａｌｌ
となる。また、電流密度をｊとし、ｎをCを淵とする面S内でのｄＳの法線とすると、
Ｉａｌｌ＝∬（Ｓ）ｊ・ｎｄＳ
ということもできる。つまり、
∲（Ｃ）Ｍ・ｄｌ＝∬（Ｓ）ｊ・ｎｄＳ
ストークス定理より、
∬（Ｓ）ｒｏｔＭ・ｎｄＳ
＝∬（Ｓ）ｊ・ｎｄＳ
∬（Ｓ）(ｒｏｔＭーｊ）・ｎｄＳ＝０
Sは任意なので、任意ｎで成り立たなければならないので、
ｒｏｔＭ＝ｊ
が証明された。
■
ここにつながります！
マクスウェル方程式の４形態
マクスウェル方程式の４形態 - SonofSamlawのブログ
■参考
■参考に
jukenyoutiebukuroさん今日は、rotM=Jmについて、昨日... - Yahoo!知恵袋
今日は、 rotM = Jm について、昨日とは別の視点で証明してみたいと思います。 図が２枚必要なのですが、質問では一枚しか載せられないので、図２のほうを載せておきます。 まず、E-B対応モデルにおいては、磁性体には、磁化Mのまわりに図1のような電流が流れています。 図１では、上向きの電流と下向きの電流が相殺されて正味0になりますね。 これを考慮したうえで、図２をご覧ください。 図２は、磁性体を閉路Cで周回積分したものです。 赤い線は、等価磁化電流となります。 緑の線のうち、M1とM2は、磁性体の磁化を表し、これらは閉路Cに貫かれます。側面電流(赤い線)は、磁化の定義より、それぞれM1*M1の長さ、M2*M2の長さとなります。 L1、L2はＣの接線成分です。 磁性体と周回積分閉路Cとの関わり方に注目してみましょう。 すると、M1～M4のような関わり方をすることが分かります。 M1は、磁性体が周回積分閉路の接線と並行に交わっているもの。 M2は、磁性体が周回積分閉路の接線と並行に交わっているが、接線成分とは角度が違うもの。 M3は、磁性体が全部閉路Cの中に入ってしまっているもの。 M4は、磁性体が全部閉路Cの外側にあるものです。 ここで、周回積分 ∫( c)M・dl = A を考えます。 このAは、図２より、Cが貫く磁化の側面電流の総和であることが分かります。そして、同時にこのAは、Cを淵とする任意の面Sを通過する総電流であることが分かります。 Cが貫かない磁化M3は面Sを通らないか、通っても行きと帰りが同じであり=0となります。 またM4についても同じで、Sの取り方によればSを通過しますが、行ったものが必ず戻るので、Ｓを通過する電流に寄与しません。 つまり、 ∫( c)M・dl = A のAは、Cを通過する磁化電流の総和となります。 ですから、M1、M2のみ考慮すればよいということになります。 まず、M1について。 ∫( c) M・dl = M1*L1 この値が、M1の等価磁化電流(赤い線)になることが分かると思います。 次に、M2について。 ∫( c) M・dl = M2*L2 = |L2|*|M2|*cosθ ですね。この値が赤い電流と等価であることも、想像がつくと思います。 字数オーバーになりました。
磁化と磁気表面電流密度が等しいというのは一般則ですか？ - 磁化Mと磁化電... - Yahoo!知恵袋
mik********さん
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