電磁気学 磁化と円電流の等価性の証明
Ｅ－Ｈ対応とＥ－Ｂ対応の等価性の証明
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12170400137
問1
図のような磁気モーメントmの棒磁石と電流ループによる点Pの磁界はどちらもH=m/2πx^3で得られることを示せ。ただし、xはl、aに対して十分大きいとする。
問2
磁極の強さ±Qm、長さlの細長い棒磁石の中心から垂直
にxだけ離れた点Pの磁界Hの大きさを求めよ。
解:H=Qml/4π{x^2+(l/2)^2}^(3/2)
問3
無限長ソレノイドの半径がaである場合において、電流Iを時間tに比例して増加させるとき、ソレノイド内外に生じる電界Eを求めよ。
解:E=-(μo)N(Io)a^2/2r (a<r)
E=-(μo)N(Io)r/2 (0≦r<a)
これらはとある教科書の演習問題なのですが、答えまでの過程が曖昧で、実力不足で解けませんでした。
どれか1問でもいいので何故この答えになるのか教えてください。
■回答
問1
図のような磁気モーメントmの棒磁石と電流ループによる点Pの磁界はどちらもH=m/2πx^3で得られることを示せ。ただし、xはl、aに対して十分大きいとする。
クーロン則より
Ｈ＝ｑｍ／（４π（ｘ－ｌ／２）＾２ーｑｍ／（４π（ｘ＋ｌ／２）＾２
ここで、
１／（１＋ｈ）
は
ｈ＜＜１
のとき、
≒（１－ｈ）
と近似できる。よって、
Ｈ≒（ｑｍ／（４πｘ＾２））（１＋ｌ／（２ｘ）））＾２
ー（ｑｍ／（４πｘ＾２））（１ーｌ／（２ｘ）））＾２
さらに近似すれば、
≒（ｑｍ／（４πｘ＾２））（１＋２＊ｌ／（２ｘ）））
ー（ｑｍ／（４πｘ＾２））（１ー２＊ｌ／（２ｘ）））
＝（ｑｍ／（４πｘ＾２））２ｌ／ｘ
ｍ＝ｑｍ＊ｌ
だから、
H≒（ｍ／（２πｘ＾３））
２番目（円電流）では
ｍ＝I＊S＝I＊π＊ａ＾２
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/circcurrent.htm
から、
Ｈ＝Ｉａ＾２／（２ｒ＾３）
ｒ≒ｘとして、
Ｈ＝Ｉａ＾２／（２ｘ＾３）
ａ＾２＝ｍ／（Ｉ＊π）だから、
Ｈ＝Ｉ＊（ｍ／（Ｉ＊π））／２ｘ＾３）
＝ｍ／（２π＊ｘ＾３）
問3
無限長ソレノイドの半径がaである場合において、電流Iを時間tに比例して増加させるとき、ソレノイド内外に生じる電界Eを求めよ。
解:E=-(μo)N(Io)a^2/2r (a<r)
E=-(μo)N(Io)r/2 (0≦r<a)
これは磁界Ｈを求める問題で、問題は間違い。
無限長ソレノイドでは、外部に磁界はできませんから、電界もできません。
正しい問題
問3
無限長導体の半径がaである場合において、電流Iを時間tに比例して増加させるとき、導体内外に生じる磁束密度Ｂを求めよ。
解:Ｂ=-(μo)N(Io)a^2/2r (a<r)外部
Ｂ=-(μo)N(Io)r/2 (0≦r<a)内部
Ｎ（Ｉ０）は電流密度ーー＞ｊ０
Ｉ０＝πａ＾２＊ｊ０
:23
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n389432
をみてちょ。
■ まず、円柱内（ｒ＝０～Ｒ）のＢを求めます。
（７）式
Ｂφ＝ｊ０＊μ０＊ｔ＊ｒ／２ （７）
（=-(μo)N(Io)r/2 (0≦r<a)内）ににているでしょ。
■ 円筒外でのＢ（Ｒ＜ｒ）
（８）式
Ｂφ＝ｔ＊μ０＊Ｉ０／（２πｒ） （８）
＝ｔ＊μ０＊ｊ０＊πａ＾２／（２πｒ）
＝ｔ＊μ０＊ｊ０＊ａ＾２／（２ｒ）
（Ｂ=-(μo)N(Io)a^2/2r (a<r)外部）ににているでしょ！
