マクスウェル方程式の４形態
誘電体や磁性体の在る場合の、どこにも書いてないマクスウェル方程式の４形態である。Ｅ－Ｂ対応でいくぞ！
■基本である真空中
ｄｉｖE = ρ/εo
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rotBーεoμo∂E/∂t = μo＊J
ーーーーー （１）
■誘電体、磁性体がある場合の各種形態
■①Ｅ，Ｂ，Ｐ，Ｍ表示
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n334650
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n312729
誘電体の分極Ｐにより、
分極電荷密度、
ρ' = -divP －－－（２）
分極電流密度、
Jp = ∂P/∂t －－－（３）
磁性体による磁化により、
磁化電流
rotM = Jm －－－（４）
これらを（１）に入れると、
ｄｉｖE = ρ/εo ＋ρ’
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rotBーεoμo∂E/∂t = μo＊J ＋μo*Ｊｐ＋μo*Ｊｍ
つまり、
ｄｉｖE = ρ/εo ー（ｄｉｖＰ）／εo
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rotBーεoμo∂E/∂t = μo＊J ＋μo*∂P/∂t＋μo*rotM
ーー（５）
これはこうなる。
ｄｉｖ（εoE＋Ｐ） = ρ
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rot（B／μoーＭ）ー∂（εoE＋Ｐ）/∂t = J
－－－（６）
■②Ｅ，Ｂ，Ｄ，Ｈ表示
副変数、
Ｄ≜εoＥ＋Ｐ
Ｈ≜Ｂ／μoーＭ
を定義すると（６）は、
ｄｉｖＤ = ρ
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rotＨー∂Ｄ/∂t = J
－－－（７）
■③Ｅ，Ｂ，ε、μ表示
Ｄ＝εＥ
Ｈ＝Ｂ／μ
であるとすれば、
ｄｉｖ（εＥ） = ρ
rotE ＋∂B/∂t＝０
divB = 0
rot（Ｂ／μ）ー∂（εＥ）/∂t = J
－－－（８）
■④Ｄ，Ｈ，χｐ、χｍ表示
誘電体や磁性体がある場合、Ｄ／εo、μoＨはその点でのその点の分極や磁化による影響を差し引いた電場、磁場である。つまり、その点の物質が受ける電場、磁場である。
そこでＰ．Ｍは
Ｐ＝χｐＤ
Ｍ＝χｍＨ
Ｅ＝Ｄ／εoーＰ／εo
Ｂ＝μoＨ＋Ｍ
と考えられる。すると
ｄｉｖＤ＝ ρ
rot（Ｄ／εoーχｐ＊Ｄ／εo)＋∂(μoＨ＋μo＊χｍ＊Ｈ）／∂t＝０
div（μoＨ＋μo＊χｍ＊Ｈ） = 0
rotＨー∂Ｄ/∂t = J
－－－（７）
■ρ = -divPの証明
上記で用いた、ρ = -divPを証明してみる。
まず、分極電荷というのはどういうものかを定性的に説明すると以下のようになるだろう。
「分極電荷は、分極ベクトルを面積分した値として表せる。
もともと分極ベクトルはズレによって単位面積を通過した電荷の量として 定義されているからである。 閉曲面の中心に向かってずれた電荷は閉曲面の内側のどこかに現れなければならないというわけだ。」
この文章より、感覚的にも、
Q = -∫P・ndS
になりそうだということは分かる。
各部の電荷密度ρが各部で移動ベクトルｄだけ分離したとき、各部の分の電気分極Ｐを求める。ある場所で体積⊿Ｖの中の電荷がｄだけ動いたとすると、それによる電気双極子モーメント⊿ｐは、
⊿ｐ＝ρ⊿Ｖｄ
電気分極Ｐは、
Ｐ＝⊿ｐ／⊿Ｖ＝ρｄ
ということは、電荷移動量⊿Ｑは、
⊿Ｑ＝ρ⊿Ｖ（ｄ・ｎ）／（⊿Ｖ／⊿Ｓ）
＝ρｄ⊿Ｓ＝Ｐ・ｎ⊿Ｓ
であることになる。ｎは⊿Ｓの法線ベクトル。
つまり、ある点の⊿Ｓを分極によって通過する電荷⊿Ｑは、
⊿Ｑ＝Ｐ・ｎ⊿Ｓ
であることになる。
つまり、ある体積Ｖ内に分極によって生じた電荷Ｑは、その表面をＳとすると、
Ｑ = ー∬（Ｓ）P・ｎｄＳ
ーがつくのは、出ていく方向を＋とするので、＋電荷が出ていくとー電荷が残るからである。
よって、微分形は、
ρ = ーｄｉｖＰ
