ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2015/10/23）投稿日：2015/10/23
周回積分についての話題
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14151734054
物理！以下の線積分の間違いを指摘してください。
、
本当は答えが-abになるはずですが、答えが0になります。原因はどこかの符号がおかしいためなのですが、どこがおかしいか全くわかりません。
以下が自分の解答です。
http://download5.getuploader.com/g/u_rela/2/image.jpg
解答に書き間違えはないはずなので、おかしな点があれば、その点を挙げるだけでなくなぜダメなのかを教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。
■回答
Ａ－－＞Ｂ
の線積分は
ｄｌ・Ｄ
＝ｄｌｘ＊Ｄｘ＋ｄｌｙ＊Ｄｙ
ここで、
ｄｌの方向はＡ－－＞Ｂに進んだときの各点で進む方向です。
よって、
∫（Ａ－＞Ｂ）（ｄｌｘ＊Ｄｘ＋ｄｌｙ＊Ｄｙ）
＝∫（Ａ－＞Ｂ）（ｄｘ＊Ｄｘ＋ｄｙ＊Ｄｙ）
＝∫（Ａ－＞Ｂ）（ｄｘ＊ｙ＋ｄｙ＊（ーｘ））
＝∫（ａー＞０）ｄｘ＊（ー（ｂ／ａ）ｘ＋ｂ）
＋∫（０－＞ｂ）ｄｙ＊（（ａ／ｂ）ｙーａ）
＝（１／２）ａｂ－ａｂ＋（１／２）ａｂ－ａｂ
＝ａｂ－２ａｂ＝－ａｂ
Ａ－＞Ｂ間線積分の答えーー＞－ａｂ
どうですか？
■線積分の仕方について・・・
下図でかんがえます。
図１
積分路はＬ（Ｌ１，Ｌ２、Ｌ３）です。ここでベクトルＤ
（Ｄｘ，Ｄｙ）を線積分することを考えます。
Ｌの方向は図の通り。
∫（Ａ－＞Ｂ）Ｄ・ｄＬ
＝∫（Ａ－＞Ｂ）（Ｄｘ＊ｄＬｘ＋Ｄｙ＊ｄＬｙ）
これは、つぎのようになります。
ｄLx＝ｄｘ、ｄLy＝ｄｙである。
当然ｄｘ。ｄｙは負にもなり得る。
符号は座標の方向で決まる。
すると、
＝∫（Ａ－＞Ｂ）（Ｄｘ＊ｄｘ＋Ｄｙ＊ｄｙ）
＋∫（Ｂ－＞Ｃ）（Ｄｘ＊ｄｘ＋Ｄｙ＊ｄｙ）
＋∫（Ｃ－＞Ｄ）（Ｄｘ＊ｄｘ＋Ｄｙ＊ｄｙ）
これはこうなる。
＝∫L1（ａ－＞ｂ）（Ｄｘ＊ｄｘ）
＋∫L2（ｂ－＞ｃ）（Ｄｘ＊ｄｘ）
＋∫L3（ｃ－＞ｄ）（Ｄｘ＊ｄｘ）
＋∫L（ｅ－＞ｆ）（Ｄｙ＊ｄｙ）
こうも書ける。
＝∫L1（ｂ－＞ａ）（ーＤｘ＊ｄｘ）
＋∫L2（ｃ－＞ｂ）（ーＤｘ＊ｄｘ）
＋∫L3（ｄ－＞ｃ）（ーＤｘ＊ｄｘ）
＋∫L（ｆ－＞ｅ）（ーＤｙ＊ｄｙ）
■さらに検討
図２
図１についてこれを図２で考えてみる。Ｌ上でＡ－＞Ｂの方向での線積分を考える。
この場合、ｄｘはｄＬの方向とｘ座標の方向から、ｄｘの符号は負である。これはつぎのように書かれ計算される。
