ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/4/13）投稿日：2014/8/20
コンデンサでＱを蓄えたときのエネルギーが、
ＱＶ／２であることを証明する
■■電位と点電荷
■１． 電荷があると電界が生じる。
図1で中心に＋Ｑの電荷がある。この場合、この＋Ｑによる電界の方向は半径方向であり、その大きさは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/クーロンの法則
により、
Ｅ＝Ｑ／（４πεｒ＾２） －－（１）
である。
■２．電位差Ｖとは２点Ａ，Ｂをむすぶ径路Ｃ上での次の値である。
Ｖ＝∫（Ａ，Ｂ）Ｅ・ｄｌ －－（２）
Ｅ、ｄｌは方向をもつベクトルで、Ｅ・ｄｌは内積である。
電位差ＶをＱの電荷を移動させれば、その仕事Ｗは次となる。
Ｗ＝Ｖ＊Ｑ －－（３）
電界Ｅにより、電荷Ｑの受ける力Ｆは次の通り。
Ｆ＝Ｅ＊Ｑ －－（４）
これより、Ａ，Ｂ間移動のための仕事Ｗは、次。
Ｗ＝∫（Ａ，Ｂ）Ｆ・ｄｌ＝∫（Ａ，Ｂ）Ｑ＊Ｅ・ｄｌ －－（５）
で（３）になる。
■３．点電荷による電界の電位差
図1 点電荷による電界による電位差
図1で考える。この場合電界Ｅは半径方向成分しかない。Ａ，Ｂ間の電位差を径路Ｃ，Ｄで考える。
Ｖ＝∫（Ａ，Ｂ）Ｅ・ｄｌ
で。
Ｅ・ｄｌ＝｜Ｅ｜｜ｄｌ｜ｃｏｓθ －－（６）
ここで、｜ｄｌ｜ｃｏｓθはｄｌのＥ方向成分である。つまり、
Ｖ＝∫（Ａ，Ｂ）｜Ｅ｜＊（ｄｌのＥ方向成分） －－（７）
そして、Ｅ方向は半径方向であるから、
Ｖ＝∫（ｒ２、ｒ１）｜Ｅ｜＊ｄｒ －－（８）
になってしまう。つまり、径路ＣでもＤでも同じ値になる。
つまり、点電荷の場合、２点Ａ，Ｂ間の電位差Ｖは積分経路に関係ない。積分経路とは、実際に電荷を移動したときのことである。
■４．実際の電荷の場合
どんな電荷分布でも、点電荷の集合であるから、「重ねの理」によりいかなる電荷分布の場合でも、２点間の電位差はその積分経路にはよらない。
■■コンデンサのエネルギー
■１．一般の場合
２つの極板Ａ，Ｂに＋－の電荷をためるのに要する仕事を考える。Ｂから＋Ｑをとり、Ａにもっていく。このときＢはーＱになる。そしてこの２つは引き合う。これに逆らい、＋ＱをＡにもっていく。仕事Ｗは次となる。
Ｗ＝∫（Ｂ，Ａ）Ｆ＊ｄｌ －－（９）
もし、コンデンサが平行板で板間はｄなら、
Ｗ＝∫（０、ｄ）Ｆ＊ｄｘ －－（１０）
となる。ｘは板間に垂直な座標である。しかし、Ｆのｘ依存性が分からないので計算できない。
■２．無限平行板に近いコンデンサの場合（εは真空の場合ε０）
片方の極板に＋Ｑがあったっ場合、電界Ｅは電磁気学（ガウスの法則）では、
Ｅ＝Ｑ／（２ε） －－（１１）
となる。両極板に＋Ｑ，－Ｑがあった場合、電界はこの２倍のＱ／εになる。
極板間距離がｄ場合、電位差Ｖ＝Ｅ＊ｄ＝Ｑ＊ｄ／εだから、Ｃ＝Ｑ／Ｖ＝ε／ｄとなる。この場合＋Ｑによる電界Ｅ＋とーＱによる電界Ｅ－の和がＥであるので、
Ｅ＋＝Ｅ－＝Ｑ／（２ε）
となる。つまり、初めに言ったように、片側の極板にＱがある場合の電界はＱ／（２ε）であり、この電界の中を電荷Ｑ（－Ｑ）がｘ＝０からｄまで動くとき力
Ｆ＝Ｑ＾２／（２ε）
を受ける。ｄ動かす仕事Ｗは、
Ｗ＝∫（０、ｄ）Ｆｄｘ＝Ｑ＾２＊ｄ／（２ε）
となる、Ｃ＝ε／ｄだから、
Ｗ＝Ｑ＾２／（２Ｃ）＝（ＣＶ）＾２／（２Ｃ）＝ＣＶ＾２／２
となる。電界Ｅ が一定なので、このような計算で出てくるが、単にＣしかわからないか、電界分布が複雑な場合はこの方法では計算できない。極板間で一気にＱを移動させて、その力を積分することができない。
■３、一般のコンデンサのエネルギー
わかっているのは、Ｑ＝ＣＶだけ。つまり、Ｑを充電したときの電位差はわかる。しかし、Ｑを上のように移動するとき、単純な形でなければ、電界Ｅはわからない。
そこで、Ｑを微小量つづ運ぶ。Ｑが変化するとＶ、つまりＥも変わる。しかし、運ぶ時は運ぶ前のＶ、Ｅを使ってしまう。⊿Ｑが小さいので、これによる電界変化は無視できる。
毎回⊿Ｑ運びＱｎ、Ｖｎになったとする。次に⊿Ｑを運ぶ時、実際は、Ｑｎ，－Ｑｎによる電界と、運ぶ⊿Ｑと残ったー⊿Ｑの間の吸引力を考えなければならないが、これを無視する。単に電位差Ｖｎを電荷⊿Ｑを運ぶとし、⊿Ｗ＝⊿Ｑ＊Ｖｎとする。この⊿Ｑにより、Ｖｎ＋１となる。つぎの⊿ＱではＶとしてＶｎ＋１をつかう。
これを⊿Ｑ－－＞０の場合を書けば、
∫（０、Ｑ）ＶｄＱ＝∫（０、Ｑ）（Ｑ／Ｃ）ｄＱ＝Ｑ＾２／（２Ｃ）
上の⊿Ｑとー⊿Ｑの吸引力を考えない、この方法は誤差が出る。しかし、その誤差は⊿Ｑを小さくすることで、小さくすることができる。
図２
図３
図４
図４は⊿Ｑの大きさによる、⊿Ｑとー⊿Ｑの吸引力を考えないことによる誤差を示している。Ａが実際の値で、Ｂは⊿Ｑが大きい場合、Ｃは⊿Ｑが小さい場合である。⊿Ｑが小さいと同じＱで比較すれば、実際の値と誤差の比は小さくなる。つまり、⊿Ｑ－－＞０で正確なＷが求まる。全Ｗは図２の面積になる。
■４まとめ
電荷を運ぶ時、運ぶ電荷⊿Ｑとそれによって生じたー⊿Ｑの間の吸引力があり、距離によって違う。それが上の２のような場合でないとわからない。だから、この⊿Ｑ、－⊿Ｑによる吸引力は、⊿Ｑが小さいということで無視する。すでにわかっている電位差Ｖｎのみにより、この⊿Ｑの移動のための仕事をＶｎ＊⊿Ｑと近似してしまうのである。この誤差は⊿Ｑ－－＞０の極限でーー＞０にできる。
運ぶ電荷⊿Ｑを小さくして、⊿Ｑとー⊿Ｑとのクーロン力による仕事を無視できるようにしている。仕事は既にあるＶｎ＊⊿Ｑで近似している。
