SonofSamlawのブログ

うひょひょ

電磁気 電圧と電位差と経路積分

 


    電圧と電位差と経路積分

 

電荷の作る電界の任意の閉路での周回積分は=0である

              図1


 図1のような、点電荷の作る電界を考え、経路Kでの周回積分(E,lの内積)を考える。

   S=∫・d    ーーーー(1)

Eの対称性から、Eの円周方向成分=0であるから、

 経路EGFでは、経路AGBの積分に、

 経路FHEでは、経路CHDの積分になる。

この二つは、値が同じで逆符号であるからS=0になる。

 

よって、点電荷の作る電界の任意の2点間の任意の経路積分をVd(電圧、電位差)とすれば、これらは経路によらず同じになる。

 さらには、任意の電荷分布の場合も、点電荷の集合と考えられることから、重ね合わせの原理から、2点間の任意の経路積分Vdは、2点の位置により決まり、経路によらず同じになる。

 電荷の作る電界による電圧Vは、2点のみで決まる。

 

■ Eの周回積分が=0となろうがなるまいが、

 2点の間の任意経路lにおいて電圧を、

   Vd=∫E・d 

と定義する。

 このとき、間隔d(dx、dy、dz)の微小直線の2点間の電圧dVdは、   

   dV=・d=Exdx+Eydy+Ezdz

同時に、

     =∂V/∂x*dx+∂V/∂y*dy+∂V/∂z*dz

でもある。ということは、

(Exー∂V/∂x)dx+(Eyー∂V/∂y)dy+(Ezー∂V/∂z)dz=0

でなければならず、dx、dy、dzが独立(任意経路だから)であるから、

   Ex=∂V/∂x

   Ey=∂V/∂y

   Ez=∂V/∂z

でなければいけないことがわかる。

 

■ ところで、電磁誘導による電界は、電荷はないから、

   divE=0

しかし、 

   rotE≠0

この場合、Vは???

 

ーー>ここに回答があります。

キルヒホッフの法則の証明 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)