ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2017/2/11）投稿日：2013/8/25

ーー＞こちらに改訂しました！

ランダムノイズｆ（ｔ）のフーリエ変換を考える。この問題はなかなか解説されていません。

こちらも参考に・・・

ランダムノイズのフーリエ変換　２

ランダムノイズのフーリエ変換　２ - SonofSamlawのブログ

ランダム信号のフーリエ変換

ランダム信号のフーリエ変換 - SonofSamlawのブログ

フーリエ級数、変換の厳密な証明

フーリエ級数、変換の厳密な証明 - SonofSamlawのブログ

■

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201364

によると、

ｆ（ｘ）のフーリエ級数は（ｆ（ｘ）は　－π＜ｘ＜πで定義されている関数）

ｆ（ｘ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（ｘ）＋ｂ１ｓｉｎ（ｘ）＋ａ２ｃｏｓ（２ｘ）＋ｂ２ｓｉｎ（２ｘ）＋・・・

ａｏ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｄｘ

ａｎ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ

ｂｎ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ

ここで、

－π＜ｘ＜πで定義されている関数を、ーＴ／２＜ｔ＜Ｔ／２で定義されている関数にすると、

ｆ（ｔ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂ１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）

　　　＋ａ２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

まず次を考える。ｆ（ｔ）はランダムノイズとする。ａ０＝０である。

ａｎ，ｂｎはＴ－－＞∞で∞になる。そこで、

ａｎ＝√（（２/Ｔ））∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｎ＝√（（２/Ｔ））∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

とすると、Ｔ－－＞∞で収束する。

参考に・・・

ランダム信号のフーリエ変換 - SonofSamlawのブログ

すると、

ｆ（ｔ）＝√（（２/Ｔ））ａ１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋√（（２/Ｔ））ｂ１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）

＋√（（２/Ｔ））ａ２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋√（（２/Ｔ））ｂ２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ここで、２乗平均は、

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）＾２ｄｔ

＝（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）（２／Ｔ）＊（ａ１＾２ｃｏｓ＾２（２πｔ／Ｔ）

＋ｂ１＾２ｓｉｎ＾２（２πｔ／Ｔ）＋・・・）ｄｔ

三角関数の２乗の公式を使い、異なる周波数の三角関数の

積、ｓｉｎとｃｏｓの積の積分は、Ｔ－－＞大で無視でき

るから、

＝（１／２）（２／Ｔ）（ａ１＾２＋ｂ１＾２＋ａ２＾２＋ｂ２＾２＋・・・）

となる。

１／Ｔ＝⊿ｆ、ｆｎ＝ｎ＊⊿ｆ、

ａｎ＾２＋ｂｎ＾２＝|Ｆn|＾２,

とすれば、

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）＾２ｄｔ

は、Ｔ－－＞∞で、ｆ＝ｎ＊⊿ｆとして、

ーー＞∫（０、∞）|Ｆ（ｆ）｜＾２ｄｆ

となる。

最後の部分は

パーセバルの定理

∫（－∞、∞)｜ｘ（ｔ）｜＾２　ｄｔ

　＝∫（－∞、∞)｜Ｘ（ｆ）｜＾２　ｄｆ

とは違っている。Ｘ（ｆ）はｘ（ｔ）のフーリエ変換。

■付録　ｓｉｎ，ｃｏｓをｅｘｐで考えたとき、

ーＴ／２＜ｔ＜Ｔ／２で定義されている関数にすると、

ｆ（ｔ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂ１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）＋ａ２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ここで、２πｔ／ＴをＡとおくと、

ｃｏｓ（ｎＡ）＝(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

ｓｉｎ（ｎＡ）＝(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）

であるから、

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２)ｄｔ

これを、

＝ｃｎ＋ｄｎ

とおく。

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）)ｄｔ

これも、

　　＝ｃｎ／ｊ－ｄｎ／ｊ

とおく。つまり、

ｃｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）(ｅ＾（ｊｎＡ））／２

ｄｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ーｊｎＡ）／２

これから、

ａｎ＊ｃｏｓ（ｎＡ）＋ｂｎ＊ｓｉｎ（ｎＡ）

＝（ｃｎ＋ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

　　＋（ｃｎ／ｊ－ｄｎ／ｊ）(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）

＝（ｃｎ＋ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

　　ー（ｃｎ－ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／２）

＝ｄｎ＊ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｃｎ＊ｅ＾（ーｊｎＡ）

つまり、

ｆ（ｔ）＝Σ（ｎ：－∞、∞）ｇｎ＊ｅ＾（ｊｎＡ）

ｇｎ＝（１/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）ｅ＾（ーｊｎＡ）

■参考

スペクトル密度

https://ja.wikipedia.org/wiki/スペクトル密度

これなんか、上の計算と同じである。

以下引用する。

見解：取り扱う多くの信号が積分可能ではなく、その信号の非正規化（＝通常の）フーリエ変換は存在しない。何人かの著者（たとえば Risken[3]）は、まだ非正規化フーリエ変換を使ってパワースペクトル密度の定義

を公式化している。ここで、δ(ω − ω') はディラックのデルタ関数である。このような公式の文献は直観を導くには有用であるが、十分な注意と共に使用されるべきである。

このような形式推論を用いると、定常ランダム過程とパワースペクトル密度 PSD(ω) およびこの信号の自己相関関数 R(τ) = <f(t) f(t + τ)> がフーリエ変換対でなければならないことに気づくだろう。このことは真実であり、ノーバート・ウィーナーおよびアレクサンドル・ヒンチンによって作り出された意味深い定理（ウィーナー・ヒンチンの定理）となる。