ランダムノイズの実効値と周波数特性の関係

ランダムノイズｆ（ｔ）のフーリエ変換を考える。この問題はなかなか解説されていません。

■

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201364

によると、

ｆ（ｘ）のフーリエ級数は（ｆ（ｘ）は　－π＜ｘ＜πで定義されている関数）

ｆ（ｘ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（ｘ）＋ｂ１ｓｉｎ（ｘ）＋ａ２ｃｏｓ（２ｘ）＋ｂ２ｓｉｎ（２ｘ）＋・・・

ａｏ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｄｘ

ａｎ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｃｏｓ（ｎｘ）ｄｘ

ｂｎ＝（１/π）∫（－π、π）ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎｘ）ｄｘ

ここで、

－π＜ｘ＜πで定義されている関数を、ーＴ／２＜ｔ＜Ｔ／２で定義されている関数にすると、

ｆ（ｔ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂ１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）

　　　＋ａ２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

まず次を考える。ｆ（ｔ）はランダムノイズとする。ａ０＝０である。

ランダム信号のフーリエ変換 - SonofSamlawのブログ

によれば、

ａｎ，ｂｎはＴ－－＞∞で√Tに比例するだろう。そこで、

ａａｎ＝√（（２/Ｔ））∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｂｎ＝√（（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ａｎ＝ａａｎ＊√（（２/Ｔ））

ｂｎ＝ｂｂｎ＊√（（２/Ｔ））

とすると、Ｔ－－＞∞で収束する。すると、

ｆ（ｔ）＝ａa１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂb１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）

＋ａa２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂb２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ここで、２乗平均、

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）＾２ｄｔ

＝（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）（ａa１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂb１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）＋ａa２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂb２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・）＾２ｄｔ

は、

異なる周波数の三角関数の積、ｓｉｎとｃｏｓの積の場合、Ｔ－－＞大で無視でき,

sin^2、cos^2の場合は一定値に収束するだろうから、つまり、T--＞大で、

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ａa１＾２ｃｏｓ＾２ｄｔーー＞ａa１＾２／２

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｂb１＾２ｓｉｎ＾２ｄｔーー＞ｂb１＾２／２

・

（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ａa１ｂb１ｃｏｓｓｉｎｄｔーー＞０

となるから、

＝（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）（ａa１＾２ｃｏｓ＾２（２πｔ／Ｔ）＋ｂb１＾２ｓｉｎ＾２（２πｔ／Ｔ）＋ａa２＾２ｃｏｓ＾２（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂb２＾２ｓｉｎ＾２（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・）ｄｔ

＝（ａa１＾２＋ｂb１＾２＋ａa２＾２＋ｂb２＾２＋・・・）／２

＝（２/Ｔ）（a１＾２＋b１＾２＋a２＾２＋b２＾２＋・・・）／２

＝（1/Ｔ）（a１＾２＋b１＾２＋a２＾２＋b２＾２＋・・・）

となる。

ｆｆを周波数として、

１／Ｔ＝⊿ｆｆ、ｆｆ＝ｎ＊⊿ｆｆ、

ａｎ＾２＋ｂｎ＾２＝|Ｆn|＾２,

とすれば、

＝⊿ｆｆ（|Ｆ１|＾２＋|Ｆ２|＾２・・・）

Ｔ－－＞∞で、ｆｆ＝ｎ＊⊿ｆｆ、Fn－ー＞F（ｆｆ）として、

Δｆｆ－ー＞ｄｆｆとして、

ーー＞∫（０、∞）|Ｆ（ｆｆ）｜＾２ｄｆｆ

　　　　ーーここでFは、

　　　　ランダム信号のフーリエ変換 - SonofSamlawのブログ

　　　　（上は、URLですからクリックしてみてください）

　　　　のXに相当するーー

となる。つまり、

ｌｉｍ（Ｔ－－＞∞）（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）＾２ｄｔ

＝∫（０、∞）|Ｆ（ｆｆ）｜＾２ｄｆｆ

となる。

実効値は、

√（ｌｉｍ（Ｔ－－＞∞）（１／Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）＾２ｄｔ）

＝√（∫（０、∞）|Ｆ（ｆｆ）｜＾２ｄｆｆ）

帯域ｄｆｆでは、

２乗平均＝|Ｆ（ｆｆ）｜＾２ｄｆｆ

実効値＝|Ｆ（ｆｆ）｜√（ｄｆｆ）

となる。

ーーーー

最後の部分は

パーセバルの定理

∫（－∞、∞)｜ｘ（ｔ）｜＾２　ｄｔ

　＝∫（－∞、∞)｜Ｘ（ｆｆ）｜＾２　ｄｆｆ

とは違っている。Ｘ（ｆｆ）はｘ（ｔ）のフーリエ変換。

■付録　ｓｉｎ，ｃｏｓをｅｘｐで考えたとき、

ーＴ／２＜ｔ＜Ｔ／２で定義されている関数にすると、

ｆ（ｔ）＝ａ０/２＋ａ１ｃｏｓ（２πｔ／Ｔ）＋ｂ１ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ）＋ａ２ｃｏｓ（２＊２πｔ／Ｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２＊２πｔ／Ｔ）＋・・・

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎ＊２πｔ／Ｔ）ｄｔ

ここで、２πｔ／ＴをＡとおくと、

ｃｏｓ（ｎＡ）＝(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

ｓｉｎ（ｎＡ）＝(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）

であるから、

ａｏ＝（２/Ｔ）∫（－Ｔ／２、Ｔ／２）ｆ（ｔ）ｄｔ

ａｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２)ｄｔ

これを、

＝ｃｎ＋ｄｎ

とおく。

ｂｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）)ｄｔ

これも、

　　＝ｃｎ／ｊ－ｄｎ／ｊ

とおく。つまり、

ｃｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）(ｅ＾（ｊｎＡ））／２

ｄｎ＝（２/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）((ｅ＾（ーｊｎＡ）／２

これから、

ａｎ＊ｃｏｓ（ｎＡ）＋ｂｎ＊ｓｉｎ（ｎＡ）

＝（ｃｎ＋ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

　　＋（ｃｎ／ｊ－ｄｎ／ｊ）(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／（２ｊ）

＝（ｃｎ＋ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｅ＾（ーｊｎＡ））／２

　　ー（ｃｎ－ｄｎ）(ｅ＾（ｊｎＡ）ーｅ＾（ーｊｎＡ））／２）

＝ｄｎ＊ｅ＾（ｊｎＡ）＋ｃｎ＊ｅ＾（ーｊｎＡ）

つまり、

ｆ（ｔ）＝Σ（ｎ：－∞、∞）ｇｎ＊ｅ＾（ｊｎＡ）

ｇｎ＝（１/Ｔ）∫(-T/2,T/2)ｆ（ｔ）ｅ＾（ーｊｎＡ）

■参考

スペクトル密度

https://ja.wikipedia.org/wiki/スペクトル密度

これなんか、上の計算と同じである。

以下引用する。

見解：取り扱う多くの信号が積分可能ではなく、その信号の非正規化（＝通常の）フーリエ変換は存在しない。何人かの著者（たとえば Risken[3]）は、まだ非正規化フーリエ変換を使ってパワースペクトル密度の定義

を公式化している。ここで、δ(ω − ω') はディラックのデルタ関数である。このような公式の文献は直観を導くには有用であるが、十分な注意と共に使用されるべきである。

このような形式推論を用いると、定常ランダム過程とパワースペクトル密度 PSD(ω) およびこの信号の自己相関関数 R(τ) = <f(t) f(t + τ)> がフーリエ変換対でなければならないことに気づくだろう。このことは真実であり、ノーバート・ウィーナーおよびアレクサンドル・ヒンチンによって作り出された意味深い定理（ウィーナー・ヒンチンの定理）となる。