ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2015/2/18）投稿日：2015/2/18
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誘電体の分極による電荷密度ρｂ、電流密度Ｊｂについて、下の本から引用する。
■１．２ 巨視的方程式
我々は電荷の集まりにより作られる電磁場を考察することが多い。電荷の集まりのうち最も普通に現れるのは物質である。物質は原子からできているが原子は電磁気の立場から見ると正電荷（原子核）とそれをとりまく負電荷（電子）の分布により特徴づけられる。負電荷は原子核を中心として、原子、分子の大きさの程度まで広がっている。
ｊ＝ρｖ
原子の大きさは極めて小さく（≒１０Ｅ－８ｃｍ）、原子内の電子の速度は極めて速い（≒１０００ｋｍ／ｓ）から、物質による電荷、電流の密度は時間的にも空間的にも激しく不規則に変化する。したがって、これらに起因する微視的電磁界も同様に変化する。しかし、普通観測される電磁界は、このような微視的電磁界ではなく、原始的大きさや周期に比べてはるかに大きな空間、時間領域にわたって平均化された巨視的電磁界である。
例を電界にとると、電界の微視的変化はｅ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）で表される。いま任意の１点（ｘ０、ｙ０、ｚ０）を中心に球形の体積Ｖを考え、この体積は多数の原子を含むほど大きいが、巨視的な立場からは無限小とみなし得るほど小さく選ばれているとする。このような体積Ｖを巨視的微小体積と呼ぶ。ｅを体積Ｖにわたり平均したベクトルを点（ｘ０、ｙ０、ｚ０）に与えて新しいベクトルＥを作る。すなわち、
Ｅ（ｘ０、ｙ０、ｚ０）＝（１／Ｖ）∫（Ｖ）ｅ（ｘ０、ｙ０、ｚ０）ｄＶ －（１．９）
半径を一定にしたまま、Ｖの中心を移動させていくと、空間のすべての点でＥが定義される。このようにして定義された新しいベクトル場Ｅを巨視的電界と呼び、ｅからＥを求める操作を巨視的平均操作という。
■１．３現象論的Ｍａｘｗｅｌｌの方程式
物質中には一般に２種類の電子が存在する。１つは特定の原子核に弾性的に結合されている電子で、束縛電子と呼ばれる。他は特定の原子核に属さず、物質中を自由に移動できる電子で、自由電子と呼ばれている。
前節で定義した巨視的電荷・電流は束縛電子に起因する部分と、自由電子に起因する部分に分けられる。それぞれ添え字ｂ、ｆをつけると、
ρ＝ρｂ＋ρｆ
Ｊ＝Ｊｂ＋Ｊｆ－－－－－－（１．１３）
次にρｂ、Ｊｂを物質の微視的構造に関係づけることが必要である。
電磁場が加わると束縛電子は平衡位置から変位する。簡単のために物質を１個の束縛電子をもつ原子の集まりと考えよう。原子の位置は原子核の位置で指定することができ、その空間分布は巨視的密度Ｎにより表せる。ただし任意の点ＰにおけるＮの値は、点Ｐを中心とする巨視的微小体積Ｖをもつ球に含まれる原子の数をＶで割ったものと定義する。各原子の内部状態は原子核に対する電子の位置と速度により決まる。
原子核を原点とした電子の位置をベクトルｓで表すと、多数の原子間の相互作用のためにｓと∂（ｓ）／∂ｔは原子ごとにかなりことなった値をとるだろう。しかし、ここでは巨視的微小体積Ｖ内の原子はすべて巨視的平均値に等しい同一のｓとｓ’（≜と∂（ｓ）／∂ｔ）をもつという理想化を行なう。
このように理想化された物質中の１点Ｐにおける巨視的電荷、電流密度を求めよう。図１．３のようにＰを中心とする巨視的微小球Ｖを考え、その表面積をａとする。図中いくつかの原子が示されているが、これらの原子はつぎの２種類に分類できる。
（１）変位ベクトルが交わらないもの（原子核が領域Ⅰの内部にあるもの）。
（２）変位ベクトルがａと交わるもの（原子核が領域Ⅱの内部にあるもの）。
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■筆者の注
★図１．３での注意点
上に書いてあるように、
「原子核を原点とした電子の位置をベクトルｓで表すと、多数の原子間の相互作用のためにｓと∂（ｓ）／∂ｔは原子ごとにかなりことなった値をとるだろう。しかし、ここでは巨視的微小体積Ｖ内の原子はすべて巨視的平均値に等しい同一のｓとｓ’（≜と∂（ｓ）／∂ｔ）をもつという理想化を行なう。」
これにより、図１．３の中の各原子のｓはすべてほぼ等しくしてある。しかし、まったく等しいわけではないと思われる。このことは、各電子がいい加減な方向をもつことはない、ということでありけして一定であるということではない。もし、一定であれば式（１．１４）はゼロになってしまう。言いたいことは、ｓ、ｓ’、Ｎの変化が連続であると仮定したということだと思う。個々がいいかげんな方向と大きさを持つことはない、という仮定である。つまり、この中の電子のｓ、ｓ’、原子密度Ｎは一定ではないが、微小領域なので一定に近似してある。傾きはゼロではない。
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ａ内の電荷の変化に寄与するのは第２の原子である。面ａの微小面積ｄａを底としてａに垂直な筒により領域Ⅱを切り取ると、この筒の高さはｓ・ν（ν（にゅー）は面ａの単位法線ベクトル）となり、この筒に含まれる原子は同一のｓをもつと考えてよい。したがってｄａ点における原子密度をＮとすれば、ａ内の電荷の合計をＶで割ったもの、つまり、巨視的電荷密度は、
ρｂ＝（ｅ／Ｖ）∫（ａ）Ｎｓ・νｄａ＝ｅ（ｄｉｖ（Ｎｓ）） ーーー（１．１４）
（ａ内に入ってきた電子ーa内から出て行った電子)
最後の式は、ガウス則からでてきたもの。
ｓは変位ベクトルの巨視的平均であるから、式（１．９）に関連して述べたのと同じ理由で、一種の巨視的場を形成している。－Nesなるベクトル場を物質の電気分極といいPで表す。従って式（１．１４）は、
ρｂ＝－ｄｉｖＰ
Ｐ≜－Ｎｅｓ－－－－－－－－－－－－－－（１．１５）
となる。Ｐは、原子の双極モーメントｐ≜－ｅｓ（双極モーメントの正の向きはｓとは逆にーから＋に向かう）に原子の密度を乗じたものであるから、物質の単位体積当たりの電気双極モーメントという物理的な意味を持っている。式（１．１５）からわかるようにρｂはＮまたはｓが空間的に変化するときに限ってゼロでなくなる。
巨視的電流密度を求めるには図１．４を考える。ｓ’に垂直な微小面積をｄａとすると、ｄａを底として高さがｓ’ｄｔの筒内に存在する電子はｄｔ時間後にはｄａを通って筒外に出てしまう。したがってｄｔ時間にｄａを通過する電荷量は－ｅＮｓ’ｄｔｄａとなり、単位時間に単位面積を通過する電荷量、つまり電流密度は
Ｊｐ≜－Ｎｅｓ’＝∂Ｐ／∂ｔ－－－－－－－－－－（１．１６）
