電磁気学 ｒｏｔＭ＝ｊｍの証明

ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/4/8）投稿日：2014/10/24    

Ｅ－Ｂ対応で磁化を電流密度ｊｍで置き換える場合、

ｒｏｔＭ＝ｊｍとなることを証明する。

■参考

より正確には、

電磁気学　磁化の電流モデル　rotM=jmの証明　＃ - SonofSamlawのブログ

■ｒｏｔＭ＝ｊｍ
の証明
 下図で、ｉ１，ｉ２は単位長さ当たりの電流で、各磁化が十分細長いとき（ｈ＞＞ｄ）、
 Ｂ１＝ｉ１＊μ０
 Ｂ２＝ｉ２＊μ０
ここで、
 Ｍ１≜ｉ１
 Ｍ２≜ｉ２
とする。ここで、青線での周回積分する。ｎは微小閉ループ面の法線。
∲（Ｂ／μ０）・ｄｌ＝∬ｒｏｔ（Ｂ／μ０）・ｎｄＳ
 ＝∬ｒｏｔＭ・ｎｄＳ
このループが十分小さければ、つまりｄ、Ｌ－－＞０では、
∲（Ｂ／μ０）・ｄｌ
≒ｒｏｔ（Ｂ／μ０）・ｎｄＳ
 ＝ｒｏｔＭ・ｎｄＳ
ここで、ｉ１，ｉ２は閉路と垂直とはかぎらないので、
 ＝ｒｏｔＭ・ｎｄＳ
 ＝（Ｍ２－Ｍ１）・Ｌ＝（ｉ２－ｉ１）・ｎ＊Ｌ
 ｄＳ＝ｄ＊Ｌ
だから、
 ｒｏｔＭ・ｎ＝（ｉ２－ｉ１）・ｎ／ｄ
ここで（ｉ２－ｉ１）は、間隔ｄの間（Ｐ点）の単位長さあたりの電流であるから、
 （ｉ２－ｉ１）／ｄは
間隔ｄの間の平均電流密度ベクトル、であることになる。
 ｄ－－＞０での極限で、ｉ１，ｉ２は一定値に収束するが、（ｉ１－ｉ１）は０に向かう。つまり、（ｉ２－ｉ１）／ｄは一定値に収束する。これを電流密度ベクトルｊｍとする。
つまり
ｒｏｔＭ・ｎ＝ｊｍ・ｎ
 （ｒｏｔＭ－ｊｍ）・ｎ＝０
 ｎ≠０
だから、
 ｒｏｔＭ＝ｊｍ
となる。