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ペアンプによる多重帰還型LPF

ライター：miranda17jpさん（最終更新日時:2014/3/1）投稿日：2014/2/22    
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図1.jpg

                                                 【図１】　　　　　　　　　　

OPAMPの（－）端子の抵抗がＮＦによって十分高くなっていて、R3とC2の電流が等しい（（－）端子への電流が無視できる）とすると、

R1、C1、R3の交点をV1とおくと、

まず、Vout とV1の関係を求めると、

Vout/V1 = -1/sC2R3・・・①

R1を流れる電流をI1

R2を流れる電流をI2

R3を流れる電流をI3
C1を流れる電流をIc

とする。

Vin - V1 = R1I1 = R1(I2 + I3 + Ic)

V1 = I3*R3

V1 = Ic/sC1

V1 - Vout = I2*R2

より、

Vin - V1 = R1{ (V1-Vout)/R2 + V1/R3 + V1*sC1}

Vin = R1{ R3(V1 - Vout) + R2*V1 + sC1R2R3*V1 } /R2R3 + V1

      = -Vout*{R1R3sC2R3 + R1R3 + R1R2sC2R3 + sC1R1R2R3sC2R3 + R2R3sC2R3}/R2R3
      = -Vout*{R1R3sC2 + R1 + R1R2sC2 + s^2C1R1R2R3C2 + R2R3sC2}/R2

      = -Vout*{s^2 + s/C1R2 + 1/C1R2R3C2 + s/C1R3 + s/C1R1}/(1/C1R1R3C2)

Vout = (-1/C1R1R3C2)/{ s^2 + s/C1R2 + 1/(C1R2R3C2) + s/C1R3 + s/C1R1}*Vin
       = [(-1/(R1R3C1C2))/{s^2 + s(1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
                    + 1/(R2R3C1C2)}] * Vin　・・・②
となる。

②より、
DCゲイン= -R2/R1
 図2.jpg 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図２】

■この回路は、ローパスフィルタが入れ子になっている
　図の回路をみると、ローパスフィルタが２つ見える。
(1)R3とC2によるローパスフィルタ
(2)R2とC1によるローパスフィルタ

である。
(1)は、Vout/V1 = -1/sC2R3
で、周波数の増加に伴いゲインが落ちるローパスフィルタの特性となり、
(2)は、一般的なRCローパスフィルタとなり、V2 = -V1/sC2R3にフィルタがかかる。
周波数が０のとき、C1には電流が流れないので、普通の積分回路とおなじになり、DCゲインが-R2/R1になる。
周波数が上がっていくと、R1とC1でローパスフィルタになるから、V1の電位は下がっていく。
つまり、
V2 = -V1/sC2R3
が小さくなっていく。
Vinは不変だから、
Vout/Vinが小さくなる。
よって、入れ子のローパスフィルタになっていることが分かる。

式で考える。
Vout =
[(-1/(R1R3C1C2))/{s^2 + s(1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) + 1/(R2R3C1C2)}] * Vin　・・・②
②を変形すると、ゲインは、
-1/[(sC2R3)*C1R1*{s + (1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)} + R1/R2]
この伝達関数を見ても、周波数が上がるにつれて、
(1)単体の積分回路(-1/sC2R3)よりも、ゲインが急速に落ちることが分かる。
分母を微分すると、
2s + (1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
となるから、
ζ= (1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)/(2ω0)
になることが分かる。
ζは減衰比で、どれくらい急峻にゲインが落ちるかを示す指標である。
②より、共振周波数（カットオフ周波数）は、
f = 1/（2π√R2R3C1C2)
である。

■負帰還を使って解析する
　図の回路は、負帰還を使って解析することも可能である。
まず、図２で、V1を入力と見たとき、R3とC2により負帰還がかかっていることが直ちに分かる。
　そして、図２において、R3の電圧とC1の電圧は常に同じであることから、図２は図３のように直すことが可能である。
 図3.jpg 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図３】  　　　　　　　　　

R1を流れる電流をI1
R2を流れる電流をI2
(1/sC1)//R3 を流れる電流をI3
とする。
Vin = V1 - R1*I1
V1 = *1
(R2/R1)*Vin = (R2/R1 + R2/*2/{s/(C1R1) + s/(C1R3) + s^2 + s/(C1R2) + 1/(C1C2R2R3)}
= (-1/(C1C2R1R3))/{s^2 + s(1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) + 1/(C1C2R2R3)}
よって、②と等しい伝達関数が導ける。

■回路シミュレータで実験
このフィルタの動作を回路シミュレータ(TINA TI)を使って確かめてみる。
オペアンプには、以下の知恵ノートで解析をしたLM324を使う。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n234431　・・・（A）
LM324のFuは、以下の知恵ノートで実証済みなので、ここではその結果を利用する。LM324のFuは、約1MHzである。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n255943　・・・（B）
カットオフ周波数を1kHzになるようにパラメータを調整する。
ζ= (1/C1)(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)/(2ω0)

f = 1/（2π√R2R3C1C2)

(B)の知恵ノートのR=160では、さすがに小さすぎると思われるため、
C2 = 100pF
C1 = 1μF

R2 = R3 = 16kΩ
でやってみる。
実験回路は、以下の図４－１のようにした。
すると、実験結果は以下の図４－２になり、ピークを許容すれば特性は悪くないようである。
もっと良い特性にできないだろうか？
 図4.jpg

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実験回路
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図４－1】
 

図5.jpg                                               　F特
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図４－２】

*1:1/sC1)//R3) * I3
-V1/sC2R3 - V1 = R2*(I1 + I3)
V1(-1/sC2R3 - 1) = R2((V1-Vin)/R1 + V1/((1/sC1)//R3

*2:1/sC1)//R3) + 1 + 1/sC2R3)V1
V1 = (R2/R1)*Vin/ (R2/R1 + R2/((1/sC1)//R3) + 1 + 1/sC2R3)
Vout = -V1/(sC2R3)
Vout/Vin = -(R2/R1)/{(sC2R3)(R2/R1 + R2/((1/sC1)//R3) + 1 + 1/sC2R3)}
= -1/{(sC2R3)(1 + R1*(1/sC1+R3)/(R3/sC1) + R1/R2 + R1/sC2R2R3}
= -1/(sC2R3)(1 + sC1R1/R3(1/sC1+R3) + R1/R2 + R1/sC2R2R3}
= -1/(sC2R3)(1+ R1/R3 + sC1R1 + R1/R2 + R1/sC2R2R3}
= -1/{sC2R3 + sC2R1 +  s^2C1C2R1R3 + sC2R3R1/R2 + R1/R2}
= (-1/(C1C2R1R3