伝送線路の問題である
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13163216648
伝送路の問題の質問です。
(1)のa),b)の問題が手につきません。
a)は入力側から見たインピーダンスなので、縦行列の中にdを代入すればいいのではと考えましたが、求まりません。
本は二冊読みましたが似たような問題もなくa),b)共に回答が手付かずです。誰か教えていただきたいです。よろしくお願いします。
問題
1)fig.2(a)及びfig.2(b)は単位長さあたりのインダクタンスＬ=5×10^-7(H/m)と単位長さあたりの容量C=2×10^-10(Ｆ/m)を有する無損失回路である。出力端2-2'から距離dの位置に端子1-1'を設ける。動作周波数を500(MHz)とするとき以下の問いに応えよ。
a)特性インピーダンスZ0,位相定数β,長さxの無損失線路の縦続行列は次式で与えられる。
cos(βx) jZ0sin(βx)
j(sin(βx))/Z0 cos(βx)
fig.2(a)の端子1-1'より右側から見たインピーダンスを距離dを用いて表せ。
b)fig.2(b)に示すように、インピーダンスZ=25-j25(Ω)をfig.2(a)の端子1-1'に接続する。fig.2(b)において端子1-1'で無反射となるための最小の距離dを求めよ。
■回答
cos(βx) jZ0sin(βx)
j(sin(βx))/Z0 cos(βx)
■（ａ）
２－２’にＲｌを付けたときの１＝１’から見たインピーダンス。
下で
βーー＞ｋ
ｘ－－＞ｌ
とする。
cosh(jkl)=cos(kl)
sinh(jkl)=jsin(kl)
です。
Vs=cosh(jkl)*Vr + Z0*sinh(jkl)*Ir
Is=sinh(jkl)*Vr/Z0 + cosh(jkl)*Ir
という関係から
Vs/Ir=cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl)
Is/Ir=sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl)
線路を含めたIN インピーダンスは
Vs/Is=(cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl))/(sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl))
=(cos(kl)*Rl+Z0*j*sin(kl))/
(j*sin(kl)*Rl/Z0+cos(kl))
ここで、Ｒｌ＝∞、ｌ＝ｄにして。
=(cos(kｄ)*Rl)/
(j*sin(kｄ)*Rl/Z0)
＝ーｊＺ０／ｔａｎ（ｋｄ）＜－－（答え）
以下の結果から、ｋ＝π
（ｂ）
Ｚ１＝ーｊＺ０／ｔａｎ（ｋｄ）
とすると、
Ｚ０＝Ｚ１／／Ｚ
にすればいい。
Z=√（Ｌ／Ｃ）＝５0
L=5*10^-7の間違いですね。
Z0=(-jZ0Z/tan(kd))/(-jZ0/tan(kd)+Z)
(-jZ0/tan(kd)+Z)=(-jZ/tan(kd))
Z=-jZ/tan(kd)+jZ0/tan(kd)
Z=(Z0-Z)j/tan(kd)
tan(kd)=j(Z0-Z)/Z=j(50-25+j25)/(25-j25)
=j(25+j25)/(25-j25)
=-1
kd=ーπ／４
となっておかしい。
Ｚ＝２５＋ｊ２５では？
こうであれば、
tan(kd)=j(Z0-Z)/Z=j(50-25-j25)/(25+j25)
=j(25-j25)/(25+j25)
=1
kd=π／４
ｆ＝５００ＭＨｚ
速度ｃ＝１／√（ＬＣ）=10^8
λ＝ｃ／ｆ＝２
ｋ＝２π／λ
ｄ＝(π／４）／（２π／λ）＝λ／８＜－－－（答え）
問題に間違いがあるのでは？
また、
＞答えの部分にkの文字が残ってしまってもいいのでしょうか
λ＝ｃ／ｆ＝２
ｋ＝２π／λ
から、
ｋ＝π
です。
Ｌ＝５＊１０＾７
ではなく
５＊１０＾－７
Ｚ＝２５－ｊ２５
ではなく
２５＋ｊ２５
出ないとおかしい
回答ありがとうございます。
教科書と照らし合わせなが理解しているところです。
Lの値は自分の入力ミスでした。
Zの値は問題の原本を確認したところ、２５-j２５でした。
某大学の院試の問題なのですが、作成ミスがあったかもしれません。
こたえはλ／８ですか？
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別解メモ
■準備
ｋ＝２π／λ
λ＝ｃ／ｆ
ｃ：速度＝１／√（ＬＣ）
ｆ：周波数
ｌ：線路長さ
Ｒｌ：終端インピーダンス
Ｚ０：線路特性インピーダンス＝√（Ｌ／Ｃ）
とする。
Vs=cosh(jkl)*Vr + Z0*sinh(jkl)*Ir
Is=sinh(jkl)*Vr/Z0 + cosh(jkl)*Ir
という関係から
Vs/Ir=cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl)
Is/Ir=sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl)
線路を含めたIN インピーダンスＺｉｎは
Ｚｉｎ＝Vs/Is=(cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl))/(sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl))
ここで、
cosh(jkl)=cos(kl)
sinh(jkl)=jsin(kl)
だから、
Ｚｉｎ=(cos(kl)*Rl+Z0*j*sin(kl))/ (j*sin(kl)*Rl/Z0+cos(kl))
■本論
ここでＲｌ＝０で
Ｚｉｎ=(Z0*j*sin(kl))/ (cos(kl))
ここで、
ｋｌ＝２π＊ｌ／λ＜＜１
であると、
Ｚｉｎ≒ｊＺ０＊ｋｌ
となる。
さらに、Ｌ，Ｃを線路の１ｍ当たりのインダクタンス、容量とすると、
Ｚ０＝√（Ｌ／Ｃ）
λ＝ｃ／ｆ＝２π＊ｃ／ω
ｋｌ＝２π＊ｌ／λ＝２π＊ｌ＊ω／（２π＊ｃ）
＝ｌ＊ω＊√（ＬＣ）
だから、
Ｚｉｎ＝ｊ√（Ｌ／Ｃ）＊ｌ＊ω＊√（ＬＣ）＝ｊωＬ＊ｌ
となり、Ｌ＊ｌは線路インダクタンスであるから、線路はこのインダクタンスに見える。
Ｒｌ＝∞
では
Ｚｉｎ=(cos(kl))/ (j*sin(kl)/Z0)
ｋｌ＜＜１で
Ｚｉｎ＝ーｊＺ０／（ｋｌ）
上と同様に、
Ｚｉｎ＝－ｊ√（Ｌ／Ｃ）／（ｌ＊ω＊√（ＬＣ））
＝１／（ｊωｌ＊Ｃ）
となり、ケーブル容量になる。
