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スタインメッツの交流理論の証明

ライター:misao007009さん(最終更新日時:2016/10/1)投稿日:2016/7/13

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スタインメッツの交流理論の証明    

 

 

 交流理論の完全な証明 

    

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160282843

 

交流回路の電圧等の複素数表示について疑問があります。

交流電圧をcos波で表した場合、便宜上expで表して計算すると思います。
しかし、これは厳密にはイコールは成り立ちません。

ネットで調べても電圧などをexpで表せる理由を説明しているものはないのですが、
複素数表示を導入する際、expの実数部分のみを考えているという認識、
つまりcos...=Re(exp...)と考えて計算しているという認識でいいのでしょうか?
便宜上数学的処理が簡単になるから複素数表示を導入しているという点は理解しています。
ただ複素数表示をする際にイコールが成り立たない点に気持ち悪さを感じています。

よろしくお願いいたします。

 

■回答

a*cos(ωt+θ)

Re(A*exp(jωt))
A:複素数
|A|=a
argA=θ
argはAの偏角です。
と書きます。ΘをAに含められるのがみそです。
■ここで下の回路を考えます。

 



 e=e0cos(ωt)
として、Iを求めます。
i=i0cos(ωt+θ)
となることは確かであり、i0とθが未知です。
これを、
e=Re(E0*exp(jωt))--(1)
E0=e0
i=Re(I0*exp(jωt))--(2)
|I0|=i0
arg(I0)=θ
と書き変えます。
iの方程式は
eーi*RーL*di/dt=0
これに(1)(2)を入れて、Reを外に出すと、
Re((E0-I0*R-jωL*I0)exp(jωt))=0--(3)
B=E0-I0*R-jωL*I0
と置くと、
Re(B*exp(jωt))=0---(3’)
これがあらゆるtで成り立つためには、
B=0
でなければなりません。つまり、
E0-I0*R-jωL*I0=0
がなりたたねばなりません。これから、
I0=E0/(R+jωL)
となり、(2)式からi(t)が求まります。
I0はフェイザと呼ばれます。そして、時間関数にしないでI0をそのままつかいます。i(t)にする必要がないのです。これが交流理論です。
I0には振幅とeとの位相差θが含まれています。
I0は正弦波生成の動径であり、その長さが振幅であり、偏角がeとの位相差を表しています。交流理論では、この動径のみで表示します。

回路図でのLをjωL、Cを1/(jωC)として直流の抵抗回路と同じ方程式を立てればいいことがわかります。

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