複素数の魔力、交流理論の技法
＊簡潔で完全な解説ですのでこれをお読みください！
交流理論の完全な証明（スタインメッツの交流理論を証明する） - SonofSamlawのブログ
スタインメッツ
概要
電気工学者なら誰でも使っているスタインメッツの交流理論、しかし根底から理解している者は少ないのです
図1 ある回路の中の量、電圧Ｅと電流Ｉ
１．まえがき
交流理論では、回路上の電圧、電流は正弦波で変化しているとします。つまり、正弦波定常状態のみを考えます。たとえば、図１のようなものです。ここで電圧Ｅと電流Ｉが示されています。このとき求めたいのはＥとＩの関係です。波形は正弦波でありますから、不明なのはその振幅と位相です。これを図1のように動径の回転で表します。動径は角速度ωで回っています。この動径の横軸への射影がその信号の時間波形となります。しかし、交流理論ではこの時間波形ではなく、図のような平面上の動径で表します。その際、回転はさせないでおきます。つまり、各動径の関係のみを考えます。図1では電圧Ｅと電流Ｉの振幅と位相θ１、θ２のみを問題にします。つまり、動径のどれかを基準として、それからの差のみを考えます。
ここまではいいのですが、ここからが難しい。交流理論では、図1の中で示された動径は複素面上を回転しているとするのです。ここがみそで、難しいところなのです。高等数学なのですね。この動径の回転成分は無視して、動径間の関係を計算します。
ここで数学上で最高の公式であるオイラーの公式、
ｅ＾（ｊθ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｊ＊ｓｉｎ（θ）
が出てきます。ｊは虚数単位√（－１）ですね。つまりですよ、
Ａ＊ｅ＾（ｊωｔ）
は、長さＡで角速度ωで反時計回りに複素面上を回る動径を表しています。この動径はフェイザと呼ばれます。
２．正弦波の和の時間波形の生成動径（フェイザ、ベクトル）での表現
図２ 正弦波の和の動径で表す
図２にうおいて、正弦波の合成について考える。正弦波ＡとＢは、位相差がθである。これを図の右の時間領域でみると難しい。しかし、左の動径（フェイザ）で見ると簡単になる。波形ＡとＢの和は、動径ＡとＢの和が生み出すものだ。
動径の角度のｓｉｎをとってから和を考える（図３の右）のではなく、動径（フェイザ）の段階（図３の左）で和をとってしまうのである。
これが交流理論の神髄である。動径の座標は複素数であるが、それをそれぞれ足し合わせた結果が和の動径（フェイザ）の座標となる。交流理論ではこの動径（フェイザ）のみを問題とする。
このようにすると、正弦波同士の和が簡単になるのである。時間波形で和を考えるのではなく、動径（フェイザ）で和をとるのである。
３．複素数の演算
図３ 複素数の関係
図３で２つの複素数Ａ，Ｂ、Ｃの関係を考えます。証明なしですが次のようなおもしろいことが成り立ちます。θＡ、Ｂ，Ｃは偏角と言います。
Ｃ＝Ａ＊Ｂ
とすると、
Ｃの長さ＝Ａの長さ＊Ｂの長さ
θＣ＝θＡ＋θＢ
さらにこれから次のことも言えます。
Ｂ＝Ｃ／Ａ
とすると、
Ｂの長さ＝Ｃの長さ／Ａの長さ
θＢ＝θＣ－θＡ
単なる（？）複素数演算で２次元の座標変換ができるのです。あるフェイザＡに偏角θを持つフェイザＢを掛け算すると、結果の偏角はθだけ増加しています。
４．複素数を回路計算への応用 Ｒ，Ｌ，Ｃの電流
図４ 抵抗Ｒ
図４の場合電流Ｉは、Ｅ／Ｒである。Ｒを抵抗のインピーダンスという。
図５ インダクタＬ
図５の場合、電流Ｉの大きさは一般的考察により（微分方程式より）Ｅ／（ωＬ）であり、位相は図1の表式でフェイザ進行方向に対して９０°遅れる。つまり電流フェイザＩは、電圧フェイザＥにより次のように書ける。ｊは虚数単位である。
Ｉ＝Ｅ／（ｊ＊ω＊Ｌ）
ここでｊで割るということは前述のように偏角をｊの偏角ー９０°だけ遅らせることになる。ここで（ｊ＊ω＊Ｌ）をインダクタのインピーダンスＺＬという。すると、
Ｅ＝ＺＬ＊Ｉ
と書けるので、これは直流の抵抗計算のようになってしまう。
図６ キャパシタＣ
図６の場合、電流Ｉの大きさはＥ＊ωＣであり、位相は図1の表式でフェイザ進行方向に対して９０°進む。つまり電流フェイザＩは、電圧フェイザＥにより次のように書ける。
Ｉ＝ｊ＊Ｅ＊ω＊Ｃ
ここでｊをかけるということは前述のように偏角をｊの偏角９０°だけ進ませることになる。１／（ｊ＊ω＊Ｃ）をキャパシタのインピーダンスＺＣとすれば、
Ｅ＝ＺＣ＊Ｉ
となり、直流における計算と同じようになってしまう。
５．複素数を回路計算への応用 Ｒ，Ｌ，Ｃ複合の電流
ここでもし、Ｒ，Ｌ，Ｃが直列になっていたら、それらの端子電圧フェイザは、
ＥＲ＝Ｉ＊Ｒ
ＥＬ＝Ｉ＊ｊ＊ωＬ
ＥＣ＝Ｉ／（ｊ＊ω＊Ｃ）
となる。その和が全体の電圧Ｅとなる。これら位相と振幅の異なる正弦波の時間領域での和はそれぞれのフェイザ（ＥＲ，ＥＬ，ＥＣ）の複素面上での和になる。つまり、
Ｅ＝Ｉ＊Ｒ＋Ｉ＊ｊ＊ωＬ＋Ｉ／（ｊ＊ω＊Ｃ）＝Ｉ＊（Ｒ＋ｊ＊ωＬ＋１／（ｊ＊ω＊Ｃ））
となり、整理すれば、
Ｅ／Ｉ＝Ｚ＝Ｒ＋ｊ＊ωＬ＋１／（ｊ＊ω＊Ｃ））
となる。これはフェイザＥ、Ｉの関係、つまりインピーダンスＺの定義でもある。つまり、直列の場合の合成インピーダンスは、各インピーダンスの和でよい。並列の場合も通常の直流での抵抗計算のようにすればよい。
続き
電気回路、回路理論、スタインメッツ交流理論の技法 2 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
参考
交流理論の完全な証明
交流理論の完全な証明 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
