SonofSamlawのブログ

うひょひょ

     

       交流理論の完全な証明

     スタインメッツの交流理論を証明する

                                        

 

■素子の電圧と電流の関係

正弦波、定常状態での素子の両端電圧eと電流iの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。

抵抗Rなら、

e=R*i

インダクタLなら、

e=Ldi/dt

コンデンサCなら、

e=∫(i/C)dt


ここで、オイラーの公式を使い、、

e=Re(E*e^(jωt))

i=Re(I*e^(jωt))

と表す。E,Iは複素数で振幅と位相差を表していて、フェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。

すると、


抵抗Rなら、

Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))

インダクタLなら、

Re(E*e^(jωt))=Ld(Re(I*e^(jωt)))/dt

=L(Re(jωI*e^(jωt)))

コンデンサCなら、

Re(E*e^(jωt))=∫((Re(I*e^(jωt)))/C)dt

=Re(I*e^(jωt)/(jω))/C)

ここで、微分とReが交換できる、ということを利用する。

【証明】

dRe(a+jb)/dt=db/dt

Re(d(a+jb)/dt)=db/dt


すなわち

Re(E*e^(jωt))ーR*Re(I*e^(jωt))=0

Re(E*e^(jωt))ーL(Re(jωI*e^(jωt)))=0


Re(E*e^(jωt))ーRe(I*e^(jωt)/(jω))/C)=0


さらにこれは、

Re((EーR*I)*e^(jωt))=0

Re((EーL*jωI)*e^(jωt))=0
Re((Eー(I/(jωC)))*e^(jωt))=0


これらが任意にのtで成り立つためには、

EーR*I=0

EーL*jωI=0


EーI/(jωC)=0

でなければならない。つまり、
Rの場合、

E=I*R

Lの場合

E=jωL*I

Cの場合

E=I/(jωC)

というフェイザ間の関係が出てくる。

 

■方程式がDC電源のときの抵抗回路と同じになる


正弦波の定常状態での解は、DC、抵抗回路の方程式で、L,Cでの電圧降下項を、

R*i-->Ldi/dt、(1/C)∫idt

 

と置き換えればよい。

さらにこれは、

Re(jωL*I*e^(jωt))、Re((I*e^(jωt)/(jωC))

 

すると方程式は、DC回路と同じ方程式で、L,Cの部分を

Re(jωL*I*e^(jωt))、Re((I*e^(jωt)/(jωC))

 

に置きかえたものになる。この方程式が任意のtで成り立つためには、

e^(jωt)を省き、Reをとる前の値の関係が、

同じ方程式を満足する必要がある。

つまり、L,Cの部分をRとしたときの方程式を、

f(R1,R2,・・・、Ri,・・・、Rj、・・・Rn)=0

 

としたとき、Riの部分がL、Rjの部分がCであるとすると、

f(R1,R2,・・・、jωL,・・・、1/(jωC)、・・・Rn)=0

 

というフェイザE,Iに関する方程式になる。つまり、正弦波の定常状態での計算は、LをjωL、Cを1(jωC)というインピーダンスにし、DC回路と同じ方程式をとけばいい。

 

インピーダンス

抵抗回路と同じように、ある回路網の電圧と電流のフェイザの関係は、

L-->jωL

C-->1(jωC)

と置くことでDC回路と同じように計算できる。こうして出てきた回路のE/Iの値(複素数)をインピーダンスという。

11-1-1999 (14)-2.jpg

 

■実例

      図1

 

  図1で考える。方程式は、

      e=VR+VL+VC     

    =R*i+Ldi/dt+(1/C)∫idt

ここで、

   e=Re(E*e^(jωt))

   i=Re(I*e^(jωt))

とすれば、

   Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))

            +Ld(Re(I*e^(jωt)))/dt

          +(1/C)∫(Re(I*e^(jωt)))dt

   


   Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))

       +Ld(Re(I*jω*e^(jωt)))/dt

      +(1/C)∫(Re(I*e^(jωt)/(jω)))dt

 


   Re(E*e^(jωt))ーR*Re(I*e^(jωt))

       ーLd(Re(I*jω*e^(jωt)))/dt

      ー(1/C)∫(Re(I*e^(jωt)/(jω)))dt  

              =0

   Re((E-R*I-jωL*I-I/(jωC))*e^(jωt)))=0

これがあらゆるtで満足されるのは、

   E-R*I-jωL*I-I/(jωC))=0

のときだけである。