オシロスコープのプローブの帯域について（伝送線路としての解析）

■質問

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10239637910
　オシロスコープのプローブの帯域幅は何によって決まっているんでしょうか。
　ACに対しても、DCに対しても減衰率を一定にできることは理解できています。
　しかしそれたけでは理論的には高周波でも減衰せず帯域幅なんてできないと思ってしまいます。どなたかよろしくお願いします。

■１．伝送線路では次の関係があります。

Vr ：受端の電圧 (V)
Ir ：受端の電流 (A)
Vs ：送端の電圧 (V)
Is ：送端の電流 (A)
l ：線路の長さ (m)
k:波数(２π／λ）
λ：線路上の波長
ｆ：周波数
ω：２πｆ
Z0(線路の特性インピーダンス）=√（L／C）
v（速度）=1/√(LC)
ｖ/λ=ｆ＝ω／２π
k=ω/v
L,C：単位長さ当たりのインダクタンスと容量。
Lt,Ct:全インダクタンス
とすれば、

Vs = cosh(jk*l)*Vr + Z0*sinh(jk*l)*Ir 　　　　　(1)
Is = (1/Z0)*sinh(jk*l)*Vr + cosh(jk*l)*Ir 　　　(2)

これは、次のようにも書ける。
Vs=cos(kl)*Vr + jZ0*sin(kl)*Ir 　 --(1')
Is=jsin(kl)*Vr/Z0 + cos(kl)*Ir --(2')

参考
http://www.mogami.com/paper/tline/tline-01.html

■２．証明

線路上の電圧をＶ（ｘ）とします。左端がｘ＝０です。

　V(x)=V1e^-jkx + V2e^jkx 　　　　　-----(3)

Ｖ１，Ｖ２はそれぞれ線路を右、左に進む信号です。

Vs=V1+V2 　 ----(4)
Vr=V1e^-jkl+V2e^jkl 　 -----(5)
Is=V1/Z0-V2/Z0 　 ------(6)
Ir=V1/Z0*e^-jkl-V2/Z0*e^jkl 　 -----(7)

(5),(7)より、
V1=Vr/2*e^jkl + IrZ0/2*e^jkl 　 -----(8)
V2=Vr/2*e^-jkl - IrZ0/2*e^-jkl 　 -----(9)

(4),(6)より、
V1=Vs/2+Z0Is/2 　 ----(10)
V2=Vs/2-Z0Is/2 　 ---- (11)

(10),(11)より　V1+V2=Vs,(V1-V2)/Z0=Isであるから、(8),(9)とあわせて、

Vs=(e^jkl+e^-jkl)Vr/2 + Z0(e^jkl-e^-jkl)Ir/2
Is=(e^jkl-e^-jkl)Vr/(2Z0) + (e^jkl+e^-jkl)Ir/2
つまり、
Vs=cosh(jkl)*Vr + Z0*sinh(jkl)*Ir
Is=sinh(jkl)*Vr/Z0 + cosh(jkl)*Ir

となり、（１）（２）は証明された。

■３．Ｒｌで終端された線路を含めたインピーダンス
上の（１）（２）
Vs=cosh(jkl)*Vr + Z0*sinh(jkl)*Ir
Is=sinh(jkl)*Vr/Z0 + cosh(jkl)*Ir

という関係から

Vs/Ir=cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl)
Is/Ir=sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl)

線路を含めたIN　インピーダンスは
Zin=Vs/Is=(cosh(jkl)*Rl + Z0*sinh(jkl))/(sinh(jkl)*Rl/Z0 + cosh(jkl))
=(cos(kl)*Rl+Z0*j*sin(kl))/(j*sin(kl)*Rl/Z0+cos(kl)) --(12)

★ (a）kl=２πl／λ<<２πの場合
kl<<２π、つまりkl=２πl／λ<<２πであれば、coskl=1,sinkl=kl
とできるので、

　　Zin≒Z0(Rl+jZ0kl)/(Z0+jRl*kl)
　　　=Rl(1+jklZ0/Rl)/(1+jklRl/Z0)　　　　　 ---(13)

と近似できます。

★（ｂ）kl=２πl／λ<<２πかつRL＞＞Z0の場合
さらにオシロプローブでは、 RL＞＞Z0　であるので、
　　　≒Rl/(1+jklRl/Z0)　　　　　　　　　　　-----(14)

となります。
ここで、kl/Z0=l２π／(λZ0) =l*2πf/(vZ0=l*ω√LC*√（C／L）＝ω*l*C=ωCt
つまり,
Zin≒Rl/(1+jωRl*Ct) -----(15)

となり、線路は入り口から見て、単にRLとCｔの並列回路と見てよい。
つまり、
線路+１MΩを単なるCｔと１MΩの並列回路としてよい。
　　

★（ｃ）kl=２πl／λ<<２πかつRl<<Z0の場合
次に、２πl／λ<<２π,　Rl<<Z0の場合です。
つまり、抵抗RlがZ0に対して小さいときです。

(1２)式は
　　　Zin≒Rl(1+jklZ0/Rl)
　　　 =Rl+jklZo -----(16)

ここで、klZo =l*(ω/v)*Z0=l√(LC)*√(L/C)=ωLｌ＝ωＬｔ
よって、

Zin=Rl+jωLt　　　------ (17)

となる。つまり、線路は入り口からみると、単にLｔとＲｌの直列回路と見てよいことになる。

★ つまり、線路上の波長が、線路長lに比べて十分大きいとき、
Rl>>Z0 ----->線路の入り口では、Rlと並列なＣとしてよい。
　Rl<<Z0------>線路の入り口では、Rlと直列なＬとしてよい。

ということがわかりました。

★　オシロのプローブを使うとき、このことを頭に入れておくと役立ちます。

■４．Ｒlで終端された線路でのVr／Vs
上の(1')から、
Vs=cos(kl)*Vr + jZ0*sin(kl)*Ir
より、
Vs=cos(kl)*Vr + jZ0*sin(kl)*Vr/Rl
Vr/Vs=1/(cos(kl)+ jZ0*sin(kl)/Rl)

ここで、２πl／λ<<２πの場合では、
cos(kl)≒１
sin(kl)≒ｋｌ
から、
Vr/Vs≒1/(１+ jZ0*kl/Rl)

さらに、Rl＞＞Z0の場合、
Vr/Vs≒１

■５．例
例として、

Ｌ＝０．６μＨ／ｍ
Ｃ＝５０ｐＦ／ｍ
l＝１．３ｍ
の場合、

ｖ＝１．８３Ｅ８（ｍ／ｓ）
Z0＝１１０Ω
Lt＝０．７８μH
Ct＝６５ｐF

λはｌの１０倍くらいにするとすれば、
１０＊ｌ＝１３ｍ
以上にはしたいんで、このプローブでは、
ｆ＝ｖ／λ＝１４ＭＨｚ
位がいいとこだと思います

■６．補足
線路の抵抗値Ｒや線間コンダクタンスＧの効果は、
http://www.mogami.com/paper/tline/tline-01.html
によれば、
ーーーー
V(x) = V1*exp(-γ*x) + V2*exp(+γ*x) (2.1)
I(x) = V1/Z0*(exp(-γ*x) - V2*exp(+γ*x)) (2.2)
ここに
Z0 = 特性インピーダンス(characteristic impedance)
= sqrt*1 (2.3)
γ = 伝搬定数
= sqrt*2 (2.4)
ーーーー
ーーーー
γ = α + j*β (2.5)
ここに
α = 減衰定数(attenuation constant) (neper/m)
β = 位相定数(phase constant) (rad/s)
α = sqrt(0.5*(sqrt*3 - (ω^2*L*C - RG)))
= R / 2 / Real(Z0) + G * Abs(Z0)^2 / 2 / Real(Z0)
β = sqrt(0.5*(sqrt*4 + (ω^2*L*C - RG)))
abs(Z0) = *5^(1/4)
arg(Z0) = 0.5*(atan(ω*L/R) - atan(ω*C/G))