円筒座標でのマクスウェル方程式の解法 ２

 円筒座標でのマクスウェル方程式の解法  

　円筒座標で解く。Ｅはｚ成分のみ、Ｈはｚ成分無し。ベッセルの方程式が出てくる。

ベッセル関数

 https://ja.wikipedia.org/wiki/ベッセル関数　　　　

　真空で電荷、電流なしでのマックスウェルの方程式は次のとおり。

　　　　ｄｉｖＢ＝０　　　　　　　　　　　　　　　（１）
　　　　ｒｏｔＥ＋ｄＢ／ｄｔ＝０　　　　　　　　　（２）
　　　　ｄｉｖＥ＝０　　　　　　　　　　　　　　　（３）
　　　　ｒｏｔＢ－（１／ｃ＾２）ｄＥ／ｄｔ＝０　　（４）

　　　　ε０＊μ０＝１／ｃ＾２

Ｅ，Ｈで書けば、

　　　　ｄｉｖＨ＝０　　　　　　　　　　　　　　　（５）
　　　　ｒｏｔＥ＋μ０ｄＨ／ｄｔ＝０　　　　　　　 （６）
　　　　ｄｉｖＥ＝０　　　　　　　　　　　　　　　（７）
　　　　ｒｏｔＨ－ε０ｄＥ／ｄｔ＝０　　　　　　　 （８）

光速ｃ＝３×１０＾８（ｍ／ｓ）ですから、（４）の左辺第２項は
ほとんど静磁界、静電界に近い状態を考察するとき、あるいは、
電流や電荷などのＥ，Ｂ発生の原因となるものの近傍での考察
では、省略してもかまわないことがわかります。
　しかし、遠方ではこの解は急激に減衰しますので、この項を
考えたときの解、つまり電磁波解が重要となりますね。

  rotはｘ、ｙ、ｚ座標では、次になる。

                                                        　　－－（９）

　ここで、ｚ方向に進む平面波を考える。Ｅはｘ成分のみ、Ｈはｙ成分のみとすれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１０）

  円筒座標によるｄｉｖ、ｒｏｔ演算は次のようになる。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/cpx01.html
より、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１２）

ｚ方向は変化なしとすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１３）

　　ここで、磁界はｚ成分＝０、電界はｚ成分のみとすれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（１４）

  時間変化を正弦波（ｅ＾（ｊωｔ））とすれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１５）

整理すると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１６）

これは、次になる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１７）

さらに、次になる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１８）

これらから、Ｅｚに関する方程式は次になる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（１９）

さらに、整理すると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（２０）

Ｅｚをｒのみの関数ＡとΦのみの関数Ｂの積と仮定すれば、次になる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（２１）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（２２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（２３）

（２３）の上の式の解は、ベッセル関数Ｊ，Ｎにより、

　　　　Ａ＝ａ＊Ｊ＋ｂ＊Ｎ　　　　　　　　　－－（２４）

である。

ここで、ｒ－－＞∞において（２３）の上式は次になる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーー（２５）

（２５）式の解は、

　Ａ＝ｃ（ｃｏｓ＋ｊ＊ｓｉｎ）＋ｄ（ｃｏｓーｊ＊ｓｉｎ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－（２６）

である。

つまり、ｒ－－＞∞においてのみ考えると、

　ｊ－－＞ｃｏｓ

　Ｎ－－＞ｓｉｎ

に漸近するのであれば、（２３）の上の式の解は、

　Ａ＝ｃ（Ｊ＋ｊ＊Ｎ）＋ｄ（Ｊ－ｊ＊Ｎ）

となるはずである。

ｃ（Ｊ＋ｊ＊Ｎ）はｒの負方向に進む解、

ｄ（Ｊ－ｊ＊Ｎ）はｒの正方向に進む解である。

ハンケル関数　電磁界解析

ハンケル関数　電磁界解析 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)