ベクトルの回転rotEの正体
rotに関する公式
lim(S->0)(1/S)∲(S周囲)E・dl
=n・rotE
を導出する
図1 問題
∂Ex/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><xx>
∂Ey/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><yx>
∂Ez/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><zx>
などと書く。Exo,Eyo,Ez0とこれにより、S周囲のEx,Ey,Ezを近似する。以下では定数として扱う。
A=∫(Sの周囲)E・dl
ここで、
E=Ex*i+Ey*j+Ez*k
dl=i*dx+j*dy+k*dz
であるから、
A=∫(S周囲)(Exdx+Eydy+Ezdz)
と書ける。
Sが微小であるとき、S内のEを直線近似して、
A≒
∫(S周囲)
{(Ex0+<xx>x+<xy>y+<xz>z)dx
+(Ey0+<yx>x+<yy>y+<yz>z)dy
+(Ez0+<zx>x+<zy>y+<zz>z)dz}
ここで、
∫(S周囲)Ex0dx
∫(S周囲)(<xx>x)dx
∫(S周囲)(Ey0)dy
∫(S周囲)(<yy>y)dy
∫(S周囲)Ez0dz
∫(S周囲)(<zz>z)dz}
は、それぞれで=0となることが自明であるので省ける。
理由、
∫(S周囲)Ex0dx
は周回積分ではxは往復するだけだが、被積分関数は行も帰りも同じ値をとる。行と帰りは径路方向が逆になるので符号が逆になり、積分値は=0になる。
ところが、
∫(S周囲)(<xy>y)dx
などでは、行きと帰りでyが異なるので=0にならない可能性がある。
そこで
=∫(S周囲)
{(<xy>y+<xz>z)dx
(<yx>x+<yz>z)dy
(<zx>x+<zy>y)dz}
=∫(S周囲)
(<xy>ydx+<yx>xdy
+<yz>zdy+<zy>ydz
+<zx>xdz+<xz>zdx)
グリーンの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/グリーンの定理
より
=
∫(Sxyの面積分)(ー<xy>+<yx>)dxdy
+∫(Syzの面積分)(ー<yz>+<zy>)dydz
+∫(Szxの面積分)(ー<zx>+<xz>)dzdx
=(ー<xy>+<yx>)Sxy
+(ー<yz>+<zy>)Syz
+(ー<zx>+<xz>)Szx
A/S≒
(ー<xy>+<yx>)Sxy/S
+(ー<yz>+<zy>)Syz/S
+(ー<zx>+<xz>)Szx/S
Sxy/S=k・n
Syz/S=i・n
Szx/S=j・n
であるから、
A/S
≒n・{
(ー<xy>+<yx>)k
+(ー<yz>+<zy>)i
+(ー<zx>+<xz>)j)}
=n・M
このMはベクトルとみなされ、rotEと記される。
これがrotEの正体である。
■参考質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170803368