SonofSamlawのブログ

うひょひょ

ベクトルの回転、rotEの正体

 

  ベクトルの回転rotEの正体 

rotに関する公式

 

 lim(S->0)(1/S)∲(S周囲)E・dl

   =n・rotE

 

を導出する

 

 

      図1 問題

 

∂Ex/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><xx>
∂Ey/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><yx>
∂Ez/∂x (Ex0,Ey0,Ez0における)ーー><zx>
などと書く。Exo,Eyo,Ez0とこれにより、S周囲のEx,Ey,Ezを近似する。以下では定数として扱う。

 

Sの周囲での周回積分(線積分)をAとすると、

 A=∫(Sの周囲)E・dl

つまり、ベクトルEと線素dlの内積をSの周囲で積分する。

ここで、

 E=Ex*i+Ey*j+Ez*k

 dl=i*dx+j*dy+k*dz

であるから、

 A=∫(S周囲)(Exdx+Eydy+Ezdz)

と書ける。

 

Sが微小であるとき、S内のEを直線近似して、

 A≒

 ∫(S周囲)

 {(Ex0+<xx>x+<xy>y+<xz>z)dx
+(Ey0+<yx>x+<yy>y+<yz>z)dy
+(Ez0+<zx>x+<zy>y+<zz>z)dz}

 

ここで、

   ∫(S周囲)Ex0dx

   ∫(S周囲)(<xx>x)dx
   ∫(S周囲)(Ey0)dy

   ∫(S周囲)(<yy>y)dy
   ∫(S周囲)Ez0dz

   ∫(S周囲)(<zz>z)dz}

は、それぞれで=0となることが自明であるので省ける。

理由、

  ∫(S周囲)Ex0dx

は周回積分ではxは往復するだけだが、被積分関数は行も帰りも同じ値をとる。行と帰りは径路方向が逆になるので符号が逆になり、積分値は=0になる。

ところが、

   ∫(S周囲)(<xy>y)dx

などでは、行きと帰りでyが異なるので=0にならない可能性がある。

 

 

そこで

   =∫(S周囲)
   {(<xy>y+<xz>z)dx
   (<yx>x+<yz>z)dy
   (<zx>x+<zy>y)dz}

 

   =∫(S周囲)
   (<xy>ydx+<yx>xdy
  +<yz>zdy+<zy>ydz
  +<zx>xdz+<xz>zdx)

 

グリーンの定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/グリーンの定理

より

 =
 ∫(Sxyの面積分)(ー<xy>+<yx>)dxdy
+∫(Syzの面積分)(ー<yz>+<zy>)dydz
+∫(Szxの面積分)(ー<zx>+<xz>)dzdx

 

 =(ー<xy>+<yx>)Sxy
+(ー<yz>+<zy>)Syz
+(ー<zx>+<xz>)Szx

 

   A/S≒

   (ー<xy>+<yx>)Sxy/S
  +(ー<yz>+<zy>)Syz/S
  +(ー<zx>+<xz>)Szx/S

 

   Sxy/S=k・n
      Syz/S=i・n
      Szx/S=j・n

 

であるから、

 

   A/S

   ≒n・{

   (ー<xy>+<yx>)k
  +(ー<yz>+<zy>)i
  +(ー<zx>+<xz>)j)}

  =n・M

このMはベクトルとみなされ、rotEと記される。

これがrotEの正体である。

 

■参考質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170803368