テンソルとは？

　テンソルとは何ぞや？何の役に立つのか？

■難しい説明ーー＞挫折する

テンソルは代数学的な説明、たとえば、　　　

高校生のための微分幾何

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats%20tensor.htm

ーーー内容ーーーー

ベクトルとベクトルを掛けたら何になるのか？
　　この単純な疑問が、テンソルを理解するきっかけになる。
　　ベクトルとベクトルとベクトルを掛けたら何になるのか？
　　この単純な疑問が、おそらくテンソルを生み出した。
　　章の構成を説明する。
　　まず、外積の説明を通じて、ベクトルの積とは何かを考察する。
　　そのあと、いわば体積要素を基底とするベクトル空間である、外積代数(グラスマン代数)について理解する。
　　それを足がかりとして、テンソル積とテンソルを順に区別して理解していこうと思う。　

　　このコラムは、当初の予定に比べて大幅に量の多いものとなってしまった。しかし、これはテンソルを理解するためのミニマムであると思われる。この中に、テンソルを理解するうえで必要のないものはないはずだ。

　　長い道のりとなるが、どうか頑張って読破して頂けると、筆者としては喜びのきわみである。

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のようなものと、座標変換の話から出てくるものがあある。しかし、初学者には何の役に立つものかがわからない。そこで簡単に効能を説明してみようと思う。

■手っ取りばやい理解

　　空間を示すのにいろいろな座標があるとする。いろいろな量はテンソルと言われるもので、その成分はよく言われるような変換則が成り立っているとする。在る座標で次の方程式が成り立っているとする。

　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０

Ａ，Ｂ，Ｃはｎ階のテンソルである。すると、

　　　　Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ

もｎ階のテンソルである。これを別な座標での話に変換すれば、

　　　　Ｄ＝ΓＤ’

となる。この式はＤのすべての成分に係数をかけて足す一次変換であるから、Ｄ’のすべての要素を列ベクトルとして書き（Ｄａ）、Γを変換行列として書き直せば（Γａ）、

　　　　Ｄａ＝ΓａＤａ’＝０

という単なる行列の式になる。Γａが正則なら、これが成り立つには、

　　　　Ｄａ’＝０

でなければならず、在る座標で成り立つ方程式は、各項がテンソルならば、異なる座標で同じ形の方程式になることになる。つまり、方程式の形が座標で変わらない。これを「方程式は座標変換で不変である」と言われる。

■参考

テンソル解析と連続体力学　理工学海外名著シリーズ30

http://nbooks.shop-pro.jp/?pid=21840805

ーーーー引用ーーーー

本書の特色本書は連続体力学の入門書であるが、有理力学が、類書にない特色となっている。したがって、従来の流体力学や、弾性学ないし塑性力学といった固体力学と、有理力学との橋渡しをするものでもある。このことは最近のように固体や流体の構成方程式（CONSTITUTIVEEQUATION）に関する理論の発展が渇望されている状況においては、正に時機にかなったものである。本書の内容の構成は、ベクトルとテンソルに関する記述からはじまり、変形の運動学（kinemaics）各種の平衡則、跳躍条件（これを扱った類書は皆無である）構成方程式に関する一般論と進み、2.3の構成方程式の具体例に至って、従来の連続体力学の各分野へ滑らかに内容が移行する形で終わっている。この内容の構成自体が非常に特徴的であるが、とくに各節ごとの本文は、目的とする主題の精髄を的確に掴み出し、かつ数学的には厳密さを保ちつつ簡潔に記述されており、それを受ける形で例題とその解答が与えられている。読者に内容を理解させずにはおかないという、著者の意志がそこには溢れている。さらに、各章末には、適度の個数の選び抜かれた演算問題が与えられており、巻末には丁寧ね解答が付されております。教科書として最高の構成をここに見ることができる。本書の内容は、流体力学・弾性学・塑性力学などのほか、応用数学や応用物理学関係にも活用できるでしょう。本書を読まれながら、読者がこれまで経験されなかった快い知的な興奮を味わっていかれることが確信される。

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　　この本はわかりやすい。難しい代数的な厳密な説明は省かれている。座標に付随した基底ベクトルとそれと直交するもう一つの基底ベクトルが定義され、これによりあるベクトルの成分を共変成分と反変成分で表現することが説明される。