ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/4/20）投稿日：2014/6/28
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マクスウェル方程式を電磁ポテンシャル（Ａ，Φ）とローレンツゲージで書いた場合、ローレンツ共変とは何かを説明する
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/32denjk/141elc.html
によれば、
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ローレンツ変換、つまり座標ｘ、ｙ、ｚ、ｃｔとｘ’、ｙ’、ｚ’、ｃｔ’の間の関係は、系「’」が速度ｖでｚ方向に動いているとすると、
ct’＝γ (ct － βz)
x’ ＝ x
y’ ＝ y
z’ ＝γ (z － βct）
γ＝１／√（１－β＾２）
β＝ｖ／ｃ
－－（１）
つまり、２つ系で同じものさしであれば初めの系で（ｚ、ｔ）と測られたものは、系「’」では、（γ (z － βct）、γ (ct － βz)）と測られるということだ。つまり、場所によって時間はことなる。すべての場所で時間は同じではないことになる。慣性系がことなる（相対速度がある）と、それらの間の時間関係は、場所によって異なる。この例であるとｚ座標によって異なる。
「Lorentz boost ローレンツ変換 」
https://www.youtube.com/watch?v=v0GtoD4BE-A
などおもしろい。
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（１）式から、ｘ、ｙ、ｚ＝０の点では
ｔ’＝γｔ－－－－－－－－－－－－－－（１－２）
となり、ｖ－－＞ｃでγーー＞∞だから、
ｔ’－－＞∞となる。
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一方系「’」の原点ｘ’、ｙ’、ｚ’＝０の時間は、
ｚ＝－ｖｔ’
（１）式から
ct’＝γ (ct － βz)＝γ (ct ＋βｖｔ)＝γ (ct ー（ｖ＾２／ｃ）ｔ)
これより、
ｔ’＝γ（１－ｖ＾２／ｃ＾２）ｔ＝γ（１－β＾２）ｔ
γ＝１／√（１－β＾２）だから、
ｔ＝γｔ’－－－－－－－－－－－－－－－－－－（１－３）
となり、（１－２）式と対称な形となる。
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つまり、どちらにとっても、相手の時間の進みが自分より遅いことになる。
お互いが、相手の時間が遅いととみている。ここから「ウラシマ効果」が出てくる。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n270983
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Ｂ，Ｅに対するマクスウェル方程式
divD ＝ ρ
rotE ＝－∂B／∂t
divB ＝ 0
rotH ＝∂D／∂t＋j
－－（２）
これらの式は、座標のローレンツ変換で、形をかえる。
では、
B ＝ rot A を満足するベクトル A （t,r ）
E ＝－gradφ－∂A／∂ｔ を満足する φ （t,r ）
－－（３）
とすると、
上の４つの方程式は、電磁ポテンシャルＡ，Φにより次のようになる。
Δφ＋∂ｄｉｖA／∂t＝－ρ／ε
Ｅ＝－ｇｒａｄΦー∂A／∂ｔ
B ＝ rot A
ΔA －εμ∂2 A／∂t2 ーｇｒａｄ（εμ∂ Φ／∂t＋ｄｉｖＡ）＝ －μj
－－－－（４）
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ローレンツゲージ
div A＋∂φ／（c2∂t）＝０ －－（５）
によるマクスウェル方程式
Δφー∂2φ／c2∂t2＝－ρ／ε －－（６）
ΔAー∂2A／c2∂t2＝－μＪ －－（７）
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上のローレンツ変換の式により、長い計算によれば、
∂2／∂x2＋∂2／∂ｙ2＋∂2／∂ｚ2ー∂2／（ｃ2∂ｔ2)
＝∂2／∂x’2＋∂2／∂ｙ’2＋∂2／∂ｚ’2ー∂2／（ｃ2∂’ｔ2) －－（８）
と、形が変わらない。
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ローレンツゲージ
div A＋∂φ／（c2∂t）＝０
の形が（１）式で不変となるためには、
A’x＝Ax
A’y＝Ay
A’z＝γ（Az－βΦ／ｃ）
Φ’／ｃ＝γ（Φ／ｃーβAz）
－－（９）
という関係になければならない。これらA’x、A’y、、A’z、Φ’／ｃは、（６）（７）式を満足する。つまり、ローレンツ変換になっている。ここで、A’x、A’y、、A’z、Φ’／ｃは、これら４つの量を慣性系「’」で測ったときの値である。
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∂ｊｘ／∂x＋∂ｊｙ／∂ｙ＋∂ｊｚ／∂ｚ＋∂ρ／∂ｔ＝０
もローレンツゲージ式と形が同じだから、
j’x＝jx
j’y＝jy
j’z＝γ(jz－βcρ)
cρ’＝γ(cρ－βjz)
－－－（１０）
と変換されれば、慣性系「’」でも同じ形となる。。
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さらに、上の（６）（７）式は線形であることから、（９）式で定義されたＡｚ’．Φ’は、系「’」での（６）（７）を満たすことを証明する。
△φー∂2φ／c2∂t2＝－ρ／ε
△Ａｚー∂2Ａ／c2∂t2＝－μｊｚ
は系「’」では、
△’（γｃ（Φ／ｃーβAz））ー∂2（γｃ（Φ／ｃーβAz））／c2∂t’2
＝－（（γ／ｃ）(cρ－βjz)）／ε
△’（γ（Az－βΦ／ｃ））ー∂2（γ（Az－βΦ／ｃ））／c2∂t2
＝－μγ(jz－βcρ)
であり、これは（８）により、初めの系の座標で書くと、
△（γｃ（Φ／ｃーβAz））ー∂2（γｃ（Φ／ｃーβAz））／c2∂t2
＝－（（γ／ｃ）(cρ－βjz)）／ε
△（γ（Az－βΦ／ｃ））ー∂2（γ（Az－βΦ／ｃ））／c2∂t2
＝－μγ(jz－βcρ)
となり、整理すると、
△（ΦーβｃAz）ー∂2（ΦーβｃAz）／c2∂t2
＝－(ρ－（β／ｃ）jz)／ε
△（Az－βΦ／ｃ）ー∂2（Az－βΦ／ｃ）／c2∂t2
＝－μ(jz－βcρ)
－－（１１）
△Φー∂2Φ／c2∂t2＝－ρ／ε
△Azー∂2Az／c2∂t2＝－μjz
が成り立っているので、（１１）は成り立つ。つまり、Ａ、ΦとＡ’，Φ’はそれぞれの座標で（６）（７）の方程式を満足する。
４元ベクトル (ct，x，y，z)，(φ/c，Ax，Ay，Az)，(cρ，jx，jy，jz) はローレンツ変換に従えば、異なる慣性系で、
①光速度
②ローレンツゲージ式
③電荷保存則式
は同じになる。 このように４元ベクトルが変換されることをローレンツ共変という。
