円筒座標で軸対称問題を解く。
■
無限長円筒導体に電流密度ｊ０で電流流したときの、各部のＢ，Ｅを
計算しました。再投稿で前のものが整理されています。
円筒座標でのマクスウェル方程式の解法 ２
円筒座標でのマクスウェル方程式の解法 ２ - SonofSamlawのブログ
■ 真空で電荷なしでのマックスウェルの方程式は次のとおり。
ｄｉｖＢ＝０ （１）
ｒｏｔＥ＋ｄＢ／ｄｔ＝０ （２）
ｄｉｖＥ＝０ （３）
ｒｏｔＢ－（１／ｃ＾２）ｄＥ／ｄｔ＝μ０＊ｊ（４）
ε０＊μ０＝１／ｃ＾２
光速ｃ＝３×１０＾８（ｍ／ｓ）ですから、（４）の左辺第２項は
ほとんど静磁界、静電界に近い状態を考察するとき、あるいは、
電流や電荷などのＥ，Ｂ発生の原因となるものの近傍での考察
では、省略してもかまわないことがわかります。
しかし、遠方ではこの解は急激に減衰しますので、この項を
考えたときの解、つまり電磁波解が重要となりますね。
■ 円筒座標によるｒｏｔ演算は次のようになる。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/cpx01.html
より、
ｒｏｔＥ＝[１／ｒdEz／ｄΦーｄEΦ／ｄｚ]ｅｒ＋
[ｄＥｒ／ｄｚ－ｄＥｚ／ｄｒ]ｅφ＋
[１／ｒｄ（ｒＥφ）／ｄｒー１／ｒｄＥｒ／ｄΦ]ｅｚ
（５）
■ 半径Ｒの円柱に電流密度ｊ０＊ｔ（ｔは時間)で電流を流します。
ｔに比例した電流を流すことで、電界を発生させようとしています。
この電界に長さをかけることで電圧（逆起電力）がでて、インダクタンス
を計算しようというものです。
■ まず、円柱内（ｒ＝０～Ｒ）のＢを求めます。
座標はｒ、Φ、ｚの円筒座標とします。
この場合、Ｂの成分は対称性よりＢφのみになります。
（４）式で、低周波数の条件によって２項を省略すれば
（もし省略しなければ、簡単に計算できなくなる）、
ｒｏｔＢ＝ｊ０＊ｔ＊μ０ （６）
＝１／ｒｄ（ｒＢφ）／ｄｒ
＝Ｂφ／ｒ＋ｄＢφ／ｄｒ=ｊ０＊μ０＊ｔ
Ｂφ＝Ａｒ＾ｎと仮定すると、
Ａｒ＾（ｎ－１）＋Ａｎｒ＾（ｎ－１）＝ｊ０＊μ０＊ｔ
これより、ｎ＝１
Ａ＝ｊ０＊μ０＊ｔ／２
となり、
Ｂφ＝ｊ０＊μ０＊ｔ＊ｒ／２ （７）
■ 円筒外でのＢ（Ｒ＜ｒ）
（４）より電流がｚ方向のみなので、ｒｏｔＢのｚ方向のみである。
また、対称性よりΦ方向の変化もない。円筒外部では電流がないので、
右辺は０である。（５）より、
１／ｒｄ（ｒＢφ）／ｄｒ＝０
ｄ（ｒＢφ）／ｄｒ＝０
Ｂφ＋ｒｄＢφ／ｄｒ＝０
変数分離で
∫ｄＢφ／Ｂφ＝－∫ｄｒ／ｒ
Ｉｎ（Ｂφ）＝－Ｉｎ（ｒ）＋Ｉｎ（Ｃ） ：Ｉｎ（Ｃ）は積分定数
＝Ｉｎ（１／ｒ）＋Ｉｎ（Ｃ）
＝Ｉｎ（Ｃ／ｒ）
Ｂφ＝Ｃ／ｒ
Ｂは連続であるから、ｒ＝Ｒで円筒内のＢφに等しくならなければ
ならないので、
Ｃ／Ｒ＝ｊ０＊ｔ＊μ０＊Ｒ／２
Ｃ＝ｊ０＊ｔ＊μ０＊Ｒ＾２／２
πＲ＾２＊ｊ０を全電流Ｉ０と置くと、
Ｃ＝μ０＊ｔ＊Ｉ０／（２π）
となり、
Ｂφ＝ｔ＊μ０＊Ｉ０／（２πｒ） （８）
となる。
■ 円筒体内のＥｚを求める。
（２）より
ｒｏｔＥ＝－ｄＢ／ｄｔ
対称性と（５）、（７）より、
ーｄＥｚ／ｄｒ＝ーｊ０＊μ０＊ｒ／２
Ｅｚ＝ｊ０＊μ０＊ｒ＾２／４ + Ｃ
ｊ０＝０でＥｚ＝０だから、Ｃ＝０、よって
Ｅｚ＝ｊ０＊μ０＊ｒ＾２／４ （９）
■ 円筒外のＥｚを求める。
（２）より
ｒｏｔＥ＝－ｄＢ／ｄｔ
対称性と（５）、（８）より、
ーｄＥｚ／ｄｒ＝ーμ０＊Ｉ０／（２πｒ）
Ｅｚ＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（ｒ）＋Ｃ
ここで、Ｃ＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（Ｃ１）とおくと、
Ｅｚ＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（Ｃ１＊ｒ）
円筒内のＥｚの解のｒ＝Ｒでの値と円筒外のＥｚのｒ＝Ｒでの値は同じ
でなければならないので、
ｊ０＊μ０＊Ｒ＾２／４＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（Ｃ１＊Ｒ）
ｊ０＊μ０＊Ｒ＾２／４＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（Ｃ１＊Ｒ）
Ｉ０＝πＲ＾２＊ｊ０ だから、
ｊ０＊μ０＊Ｒ＾２／４＝μ０＊πＲ＾２＊ｊ０／（２π）Ｉｎ（Ｃ１＊Ｒ）
１／２＝Ｉｎ（Ｃ１＊Ｒ）
Ｃ１＊Ｒ＝ＥＸＰ（１／２）
Ｃ１＝１／Ｒ＊ＥＸＰ（１／２）
Ｅｚ＝μ０＊Ｉ０／（２π）Ｉｎ（ＥＸＰ（１／２）＊ｒ／Ｒ）
＝μ０＊Ｉ０／（２π）（Ｉｎ（ｒ／Ｒ）＋１／２） （１０）
