プランクの式　＜Ｅ＞＝hν／（ｅ＾（ｈν／ｋＴ）－１）　の導出

有名なプランクの式

＜Ｅ＞＝hν／（ｅ＾（ｈν／ｋＴ）－１）

を導出する

■質問

プランクの輻射の公式について

左辺を変形して右辺になるプロセスがわかりません…
どなたか教えていただけないでしょうか…？

■回答

ある振動数νの振動子の可能なエネルギーはΔＥ（ｈν）の整数倍であるとする。
振動子が可能なエネルギーにある確立
＝ＡΣ（ｎ＝０、∞）ｅ＾（－ｎ＊ΔＥ／ｋＴ）
＝Ａ／（１－ｅ＾（－ΔＥ／ｋＴ））
＝１
∴ Ａ＝（１－ｅ＾（－ΔＥ／ｋＴ））

その振動子の平均エネルギー
＝ＡΣ（ｎ＝０、∞）ｎ＊ΔＥｅ＾（－ｎ＊ΔＥ／ｋＴ）
＝ＡΔＥｅ＾（－ΔＥ／ｋＴ）／（１－ｅ＾（―ΔＥ／ｋＴ））^２
＝ ΔＥｅ＾（－ΔＥ／ｋＴ）／（１－ｅ＾（―ΔＥ／ｋＴ））
＝ ΔＥ／（ｅ＾（ΔＥ／ｋＴ）－１）

■
ｋＴ＜＜⊿Ｅでは、
その振動子の平均エネルギー≒０

ｋＴ＞＞⊿Ｅで、

その振動子の平均エネルギー≒ｋＴ

つまり、振動エネルギーはＴが大きくないと分配されない。

並進や回転運動への分配が温度に関係がないとすれば、比熱は高温になると大きくなることになる。

■
以下の結果を使った。
Ｃｉ＝Σ（ｎ＝０、ｉ）ｎｒ＾ｎ
とすると、
Ｃｉ－ｒ＊Ｃｉ
＝ｒ＋ｒ＾２＋ｒ＾３＋．．．＋ｒ＾ｉ－ｉ＊ｒ＾（ｉ＋１）
＝ｒ（１－ｒ＾（ｉ－１））／（１－ｒ）－ｉ＊ｒ＾（ｉ＋１）
よって、
Ｃｉ＝ｒ（１－ｒ＾(i-1)））／（１－ｒ）^2 －ｉ＊ｒ＾(i+1)／（１－ｒ）

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