作者のロバート・ワイドラー
■参考
シャントレギュレータ４３１について - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
３端子レギュレータ７８シリーズの原理 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
Vref 高精度バンドギャップ電源ＬＴ１０１９回路解析 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
３端子レギュレータ７８シリーズの回路図です。かなり正確なものに見えます。
東芝のデータシートからです。
この形のものが、ワイドラーによって考案された最初の「バンドギャップ電源」です。
図1 回路図
「New Developments in IC Voltage Regulators」
ROBERT. J. WIDLAR (National Semiconductor)
IEEE JOURNAL OF SOLID-CIRCUIT,VOL SC-6 NO.1 FEBRUARY 1971
に最初のアイデアが発表されている。この論文から引用する。図もコピーした。
図2 論文から
（Ｑ２の電流密度Ｊ２はＱ１の密度Ｊ１の１／１０くらい低い）
ワイドラーの論文ではいきなり数式がでてくるから、
より、準備的な部分を引用する。
[http://:title]
－－－－－－－－－－－－引用ーーーーーーーーーーーーーーーー
ＶｂｅとＩ１の関係、
Vbe=Vt＊In(I1/Is)
ここで
vbe：ベースーエミッタ間電圧
I１：コレクタ電流
Is=(q*A*ni^2*Dn/Qb=B*ni^2*Dn=B'*ni^2*T*μn
ここで、
Qb：ベース中の不純物密度
μｂ：ベースでの電子の移動度
Ａ：エミッターベースの接合面積
Ｔ：温度
Ｂ，Ｂ’は温度不変、アインシュタインの関係式μ＝(q/kT)*DnがＩｓをμと
ｎｉ－２で表すのに用いられている。
μｎ＝Ｃ＊Ｔ＾(-n)
と表しておく。
ni^2=D*T^3*exp(-Vg0/Vt)
Vg0:〇度Ｋにおけるシリコンのバンドギャップ推定値
Ｄ、Ｃ：温度に不変な対して量で内容はこの場合重要でない。
μｎの式のｎはベース領域の不純物によりきまる。
以上を合わせて、
Vbe=Vt*In(I1*T^(-γ)*E*exp(Vg0/Vt))
=Vt*In(I1)-γ*Vt*In(T)+Vt*In(E)+Vg0 <-- ワイドラーはこれを使っているのか？
γ=4-n
である。
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ここで下の特許のために・・・
未知な値Ｉｎ（Ｅ）を消去する方法。
Ｔ＝Ｔ０，Ｉ１＝Ｉ１０のときＶｂｅ＝Ｖｂｅ０であったとする。すると、
Vbe=Vt*In(I1)-γ*Vt*In(T)+Vt*In(E)+Vg0
Vbe0=Vt0*In(I10)-γ*Vt0*In(T0)+Vt0*In(E)+Vg0
これから、
In(E)=(Vbe0-Vt0*In(I10)+γ*Vt0*In(T0)-Vg0)/Vt0
これをＶｂｅの式に代入して、
Vbe=Vt*In(I1)-γ*Vt*In(T)+Vt/Vt0*(Vbe0-Vt0*In(I10)+γ*Vt0*In(T0)-Vg0)+Vg0
=Vt*In(I1)-γ*Vt*In(T)+(Vbe0*Vt/Vt0-Vt*In(I10)+γ*Vt*In(T0)-Vg0*Vt/Vt0)+Vg0
=Vt*In(I1/I10)-γ*Vt*In(T)+Vbe0*Vt/Vt0+γ*Vt*In(T0)+Vg0*(1-Vt/Vt0)
=Vt*In(I1/I10)+Vbe0*Vt/Vt0+γ*Vt*In(T0/T)+Vg0*(1-Vt/Vt0)
=Vt*In(I1/I10)+Vbe0*Vt/Vt0+γ*Vt*In(T0/T)+Vg0*(1-Vt/Vt0)
下の特許ではこれにC1*kT/q（c1*Vt)を加えてＶｏｕｔとしている。また、下の特許の中のｎは上のγと
γ＝ｎ
の関係があると思われる。
ここの式が下のワイドラーの特許に使われている。
ワイドラーの特許より・・・
Ｌｏｇ（ｅ）は Ｉｎのことである。つまり自然対数。
Vbe=Vg0*(1-T/T0)+Vbe0*(T/T0)+(nkT/q)Log(e)(T0/T)+(kT/q)*Log(e)(Ic/Ic0) (1)
・・・上で導いた式である
Vg0はＴ＝０でのバンドギャップエネルギーでシリコンで1．205(V)
Vbe0はIc0,T0でのＢ－Ｅ電圧。
最後の２項はネグれるので、(1)はつぎのようになる。
Vbe=Vg0*(1-T/T0)+Vbe0*(T/T0)
⊿Vbe=(kT/q)*Log(e)(J1/J2) (2)
Vref=Vg0*(1-T/T0)+Vbe0*(T/T0)+(kT/q)*Log(e)(J1/J2) (3)
これをＴで微分する。
∂Vref/∂T=-Vg0/T0+Vbe0/T0+(k/T)*Log(e)(J1/J2) (4)
温度０ドリフトのため、次が満たされなくてはならない。
Vg0=Vbe0+(kT0/q)*Log(e)(J1/J2) (5)
【筆者コメント】
T=Ｔ０においてのＶｒｅｆは、(3)に(5)をいれると、
Vref=(Vg0-(kT0/q)*Log(e)(J1/J1)) *(T0/T0)+(kT0/q)*Log(e)(J1/J1) =Vg0
つまり、Ｖｇ０＝１，２０５Ｖとなる。ここからバンドギャップ電圧の名がついた。
図3 論文から（５Ｖレギュレータ）
R.J.Widlar,「Designing positive voltage regulators」IEEE,vol.17pp. 90-97,June 1969
も参考に
