難しいコンデンサの問題である。特に「大地に接地」という言葉が使われるが、まったく意味にないことである。そのことを証明してみる。
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12152128297
高校 物理 コンデンサー
この問題なのですが+qに帯電した金属板を挿入してからの現象がよくわかりません。
Aが帯びる電気量も回答によると-qx/d
と記載されていますがよくわかりません。
解説よろしくお願いします。
■解説
この問題の答えを出す前に、まず次の問題を考える。電極面積Ｓに比べｄは小さいとする。この結果、電極電荷Ｑによる電界Ｅは、たとえばＭの場合左右に、
Ｅ＝Ｑ／（２Ｓε０）
となるとしてよい。
図１ Ａ，Ｂが離れている場合
この場合、導体Ａ，Ｂ内での電界が＝０になるように内部の電子は動くので、図のようになる。このとき、
ｑａ／（Ｓε０）＝ｑｂ／（Ｓε０）＝ｑ／（２Ｓε０）－－（１）
となる必要があるので、
ｑａ＝ｑｂ＝ｑ／２ －－－－（２）
である。
次にＡ，Ｂが導体（金属）でつなげた場合を考える。問題から、ｑａ，ｑｂは外部から入れるものと考える。ここが肝心で接地などというわけのわからない表現は避けるべきである。
図２ Ａ，Ｂをつないだとき
Ａ，Ｂ内では電界＝０であるから、
ｑ／（２Ｓε０）＋ｑａ／（２Ｓε０）＋ｑｂ／（２Ｓε０）＝０
つまり、
ｑ＋ｑａ＋ｑｂ＝０ ーーーー （３）
周回積分＝０から、Ａ，Ｂ内には電界はないから、
ｙ（ｑｂ－ｑａ＋ｑ）／（Ｓε０）＝ｘ（ｑａ－ｑｂ＋ｑ）／（Ｓε０）
つまり、
ｙ（ｑｂ－ｑａ＋ｑ）＝ｘ（ｑａ－ｑｂ＋ｑ） －－－－（４）
（３）（４）から、
ｙ（－ｑ－ｑａ－ｑａ＋ｑ）＝ｘ（ｑａ＋ｑ＋ｑａ＋ｑ）
ｙ（－２ｑａ）＝ｘ（２ｑａ＋２ｑ）
ｑａ（－２ｙ－２ｘ）＝２ｑｘ
ｑａ＝ーｑｘ／ｄ －－－（５）
次にＡ，Ｂに外部から電荷を入れない場合について考える。
図３ 外部から電荷を入れない場合
Ａ，Ｂ内の電界＝０であり、
ｑ／（２Ｓε０）＋ｑａ１／（２Ｓε０）－ｑａ２／（２Ｓε０）＋ｑｂ１／（２Ｓε０）＋ｑｂ２／（２Ｓε０）＝０
－－ーー（６）
ｑ／（Ｓε０）＋ｑａ１／（Ｓε０）＋ｑａ２／（Ｓε０）＋ｑｂ１／（Ｓε０）ーｑｂ２／（Ｓε０）＝０
－－－－（７）
つまり、
ｑ＋ｑａ１－ｑａ２＋ｑｂ１＋ｑｂ２＝０ －－－－（８）
ｑ＋ｑａ１＋ｑａ２＋ｑｂ１ーｑｂ２＝０ －－－－（９）
これから、
ｑａ２ーｑｂ２＝０ －－－－（１０）
ｑ＋ｑａ１＋ｑｂ１＝０ －－－（１１）
導体の全電荷は＝０なので、
ｑａ１＋ｑａ２＋ｑｂ１＋ｑｂ２＝０ －－－－（１２）
周回積分を考えるが、導体内は電界＝０なので、
ｘ（ーｑ／（２Ｓε０）＋ｑｂ１／（２Ｓε０）＋ｑｂ２／（２Ｓε０））＋ｙ（ｑ／（２Ｓε０）ーｑａ１／（２Ｓε０）ーｑａ２／（２Ｓε０））＝０
－－－－（１３）
つまり、
ｘ（ーｑ＋ｑｂ１＋ｑｂ２）＋ｙ（ｑーｑａ１ーｑａ２）＝０ －－－（１４）
（１０）（１１）（１２）（１４）から、ｑａ１，ｑａ２、ｑｂ１、ｑｂ２が求まる。
（１０）（１１）（１２）より、
ｑａ１＋ｑａ２－ｑ－ｑａ１＋ｑａ２＝０
ｑａ２＝ｑ／２ －－－－（１５）
（１４）より、
ｘ（ーｑーｑ－ｑａ１＋ｑａ２）＋ｙ（ｑーｑａ１ーｑａ２）＝０
ｘ（ーｑーｑ－ｑａ１＋ｑ／２）＋ｙ（ｑーｑａ１ーｑ／２）＝０
ｘ（－（３／２）ｑ－ｑａ１）＋ｙ（ーｑａ１＋ｑ／２）＝０
ｑａ１（ －ｘ－ｙ）＝ｑ（（３／２）ｘ－（１／２）ｙ）
ｑａ１＝ーｑ（（３／２）ｘ－（１／２）ｙ）／ｄ
ｑａ１＝ーｑ（（３／２）ｘ－（１／２）（ｄ－ｘ））／ｄ
ｑａ１＝ーｑ（２ｘ－（１／２）ｄ）／ｄ －－－－（１６）
この場合、Ａ，Ｂは等電位であり、それをつないでも何も起こらない。それがどんなに大きくても何も起こらないことに注意するべきである。つまり、それが「大地」であってもだ！
■別回答１（私の不完全な回答）
板の面積をＳとします。
Ａ，Ｂの間の電圧は０だから、
ｙ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）＝ｘ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）－－（１）
無限平板の仮定からＭ，Ａ，Ｂが電荷ｑ、ｑａ，ｑｂを
持つとき、板の両側の電界Ｅｍ、Ｅａ，Ｅｂは、
Ｅｍ＝ｑ／（２Ｓε０）－－－－－－－－－（２）
Ｅａ＝ｑａ／（２Ｓε０）－－－－－－－－－（３）
Ｅｂ＝ｑｂ／（２Ｓε０）－－－－－－－－－－（４）
Ａ，Ｂの電荷移動を径路Ｃだけにすれば、
ｑａ＋ｑｂ＝０－－－－－－－－－－－－－－－（５）
ｘ＋ｙ＝ｄ－－－－－－－－－－－－－－－－（６）
Ｃの電荷移動だけ考えます。これを解くと解は違うと思
います。
（１）（５）の連立からｑａがでます。
ｙ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）＝ｘ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）－－（１）
ｑａ＋ｑｂ＝０－－－－－－－－－－－－－（５）
電界の方向を考慮すれば（５）は、
ｙ（ｑ／（２Ｓε０）ーｑａ／（２Ｓε０）＋ｑｂ／（２Ｓε０）））＝ｘ（ｑ／（２Ｓε０）＋ｑａ／（２Ｓε０ーｑｂ／（２Ｓε０））
ｙ（ｑーｑａ＋ｑｂ）＝ｘ（ｑ＋ｑａーｑｂ）－－－（１）’
（１）’（＊）から、
ｙ（ｑーｑａ－ｑａ）＝ｘ（ｑ＋ｑａ＋ｑａ））
ｙ（ｑー２ｑａ）＝ｘ（ｑ＋２ｑａ）
２ ｑａ（ーｙーｘ）＝ｑ（ｘ－ｙ）
ｑａ＝ーｑ（ｘーｙ）／２ｄ
ｑａ＝ーｑ（２ｘーｄ）／２ｄ＜－－－－（答え）
で本とは違います。
■
２つの解の違いは、
次の条件
ｑａ＋ｑｂ＝０
ｑａ＋ｑｂ＝－ｑ
のどちらかということからきています。
■（不完全ながら合っている！！！）
私のやり方で、したの条件にしてみました。
どうでしょう？
（１）（５）の連立からｑａがでます。
ｙ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）＝ｘ（Ｅｍ＋Ｅａ＋Ｅｂ）－－（１）
ｑａ＋ｑｂ＝ーｑ－－－－－－－－－－－－－（＊）
電界の方向を考慮すれば（５）は、
ｙ（ｑ／（２Ｓε０）ーｑａ／（２Ｓε０）＋ｑｂ／（２Ｓε０）））＝ｘ（ｑ／（２Ｓε０）＋ｑａ／（２Ｓε０ーｑｂ／（２Ｓε０））
ｙ（ｑーｑａ＋ｑｂ）＝ｘ（ｑ＋ｑａーｑｂ）－－－（１）’
（１）’（＊）から、
ｙ（ｑーｑａ＋（－ｑ－ｑａ））＝ｘ（ｑ＋ｑａー（－ｑ－ｑａ））
ｙ（ー２ｑａ）＝ｘ（２ｑ＋２ｑａ）
２ ｑａ（ーｙーｘ）＝ｑ（２ｘ）
ｑａ＝ーｑｘ／ｄ＜－－－－（答え）
で合います。
■別回答２（他人）
金属片板Mからはｑ/εo本の電気力線がでます。そのうちqA/εo本がAに、qB/εo本がBに向かうものとします。
(1) qAを求めることになります。
AとBとは電位が等しくなければなりませんから、
(qA/εo)(d-x)=(qB/εo)・x
また
qA+qB=q
ですから、
(qA/εo)(d-x)={(q-qA)/εo}・x
(qA/εo)・d=(q/εo)・x
∴ qA=q・(x/d)
したがって、この電荷に相当する負電荷がMに静電誘導されるのでAが帯びる電気量は-qx/dということになるのです。
もし解説が不十分であればその部分をもう一度お尋ねください。
ーーー感想ーーーーー
かなりいい加減である。呆れる。
■別回答３（他人）
二つの平行板コンデンサーが並列になっているのです．（高校レベルではこの見方がわかりやすいのでは？）
平行板コンデンサーの静電容量は極板間隔に反比例するので，AとBが帯びる電気量も（Q=CVでVが同じなので）同様です．よって
qA : qB = 1/(d-x) : 1/x，
qB = qA・(d-x)/x.
これを
qA + qB = -q
に代入して，
qA(1 + d/x - 1) = -q,
qA = -qx/d.
ーーー感想ーーーーー
かなりいい加減である。呆れる。
