Ｚ変換伝達関数の周波数特性

Ｚ変換伝達関数の周波数特性

連続系の場合、つまりラプラス変換での伝達関数Ｇ（ｓ）の場合は、周波数特性はＧ（ｊω）でしたね。
証明は、

■伝達関数G（ｓ）の周波数特性

伝達関数Ｇ（ｓ）の周波数特性 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
を参考に。

　これと同じことを、ｚ変換での伝達関数で考えればＧ（ｚ）の周波数特性はＧ（ｅ＾（ｊωＴ））であることがわかります。
Ｔはサンプル周期です。

ここで
ｓｉｎ（ωＴｎ）
のＺ変換は
ｚ＾－１＊ｓｉｎ（ωＴ）／（１－２＊ｚ＾－１ｃｏｓ（ωＴ）＋ｚ＾－２）
＝ｚ＾－１＊ｓｉｎ（ωＴ）／（（１ーｚ＾－１＊ｅ＾（ｊωＴ））（１ーｚ＾－１＊ｅ＾（－ｊωＴ））
であり、極が
ｅ＾（ｊωＴ）
ｅ＾（－ｊωＴ）
であることから、ｚ－－＞ｅ＾（ｊωＴ）で周波数特性になることが証明できるのだとおもいます。

連続系の場合は
ｓｉｎ（ωｔ）
のラプラス変換が、
ω／（ｓ＾２＋ω＾２）
＝ω／（（ｓ＋ｊω）（ｓ－ｊω））
であり、極がｊω、－ｊωであることから、ｓ－－＞ｊωとおいて周波数特性が出てきます。