誘導電動機のトルク計算
非常に難しい誘導モーターのメカニズムの有名なスタインメッツ等価回路から導く
■スタインメッツのトルクーｓ関係式の導出
上図の上が等価回路で、下が１次側に換算し、簡略化したもの。励磁電流を無視すると、１次電流Ｉ１は、
Ｉ１＝Ｖ１／√（（ｒ１＋ｒ２’／ｓ）＾２＋（ｘ１＋ｘ２’）＾２）－－（１）
ここでｒ２’／ｓの消費電力が2次コイルと回転による機械出力Ｐｏであるとする。
２次コイル抵抗は回転によって変わらないので、
ｒ２’／ｓ－ｒ２’＝ｒ２’（１－ｓ）／ｓ
が回転のために付加された抵抗であり、これによる電力が機械出力Ｐｏであるとする。これは、ＤＣモーターと同じであり、電機子の電圧は抵抗と逆起電力の和であり、逆起電力＊電流が機械出力Ｐｏである。この場合、ｒ２’／ｓにかかる電圧は、抵抗ｒ２’と逆起電力の和であると考える。
Ｐｏ＝（ｒ２’（１－ｓ）／ｓ）＊Ｉ１＾２
トルクＴは、回転角速度をΩ、同期角速度をΩ０とすると、
Ｔ＝Ｐｏ／Ω＝Ｐｏ／（Ω０（１－ｓ））
＝（ｒ２’（１－ｓ）／（ｓ＊Ω０（１－ｓ））＊Ｉ１＾２
＝（ｒ２’／（ｓ＊Ω０））＊Ｉ１＾２－－－－－－－（２）
（２）式のＩ１に（１）を入れ、３相なので３倍すれば、トルクとｓの関係式が出てくる。
Ｔ＝
３（Ｖ１＾２＊ｒ２’／（ｓ＊Ω０））／（（ｒ１＋ｒ２’／ｓ）＾２＋（ｘ１＋ｘ２’）＾２）
－－－（３）
ここで注意することは、Ω０は電源周波数ωと構造（極数ｐ）で決まるということである。
Ω０＝２πｆ／（ｐ／２） （ｒａｄ／ｓ）
Ｎ０＝１２０ｆ／ｐ （ｒｐｍ）
（３）式をｓで微分し、Ｔの最大値を求めると、
ｓ＝ｒ２’／√（ｒ１＾２＋（ｘ１＋ｘ２’）＾２） －－－（４）
のときが最大で、Ｔの最大値Ｔｍは、
Ｔｍ ＝３Ｖ１＾２／（２Ω０（ｒ１＋√（ｒ１＾２＋（ｘ１＋ｘ２’）＾２））
－－－（５）
となる。
（３（式で、ｓ＝０付近で考えれば、
Ｔ≒３＊Ｖ１＾２＊ｓ／（Ω０＊ｒ２’） ＜－－－比例推移（６）
から、
ｓ≒３（Ω０＊Ｔ）＊ｒ２’／Ｖ１＾２
になり、これからわかりまちゅ
さらに、Ｐ２を２次入力とすると、
Ｐ２＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｐｏ＝Ｉ１＾２＊（ｒ２’／ｓ－ｒ２’）
＝Ｉ１＾２＊ｒ２’（１－ｓ）／ｓ
Ｔ＊Ω＝Ｐｏ＝Ｉ１＾２＊ｒ２’（１－ｓ）／ｓ
これから、
Ｔ＊Ω／（１－ｓ）＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｔ＊Ω０＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｔ＊Ω０＝Ｐ２
ーーーーーーーーーー以下おまけーーーーーーーーーー
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12149631227/a3682680【45?open_reply=1
【回答】
Ｐ２＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｐｏ＝Ｉ１＾２＊（ｒ２’／ｓ－ｒ２’）
＝Ｉ１＾２＊ｒ２’（１－ｓ）／ｓ
Ｔ＊ω＝Ｐｏ＝Ｉ１＾２＊ｒ２’（１－ｓ）／ｓ
これから、
Ｔ＊ω／（１－ｓ）＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｔ＊ωｓ＝Ｉ１＾２＊ｒ２’／ｓ
Ｔ＊ωｓ＝Ｐ２
というわけですな？
ーーーーー
Tm = P2 / ωｓ で求めるものと思っていました。
しかし、回答を見ると
Tm = P2 / ωｓ（1-Sm） となっています。
ーーーーー
Tm = P2 /（ ωｓ（1-Sm）） ーー＞Tm = Pｏ / ωｓ（1-Sm）
のまちがいでは？
Ｔｍ
＝３Ｅ＾２／（２ωｓ（ｒ１＋√（ｒ１＾２＋（ｘ１＋ｘ２’）＾２）
は下の本に書いてあり、間違いはないと思います。
これから、
Ｅ＾２／ωｓはＴｍ、ｒ１、ｘ１、ｘ２’で決まり、ｒ２’には依存しません。
■
磁化されたものと円電流の等価性は
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n279165
■等価磁化電流によるもの
そもそも、私の提案は強磁性体を等価電流に置きかえると、それと界磁とのローレンツ力でトルクが求まり、その等価電流は、コイル電流に比べて十分大きいので、コイル部分の磁界を上げたとしても、あまり効果はない、と言いたかったのです。
回転子のトルクは２次コイルと界磁のローレンツ力だけではない、ということを言いたかったのです。
しかし、この方法でトルク式を導くことは不可能です。
実際の磁束の流れを再現するように等価電流を配置しなければならない。１次コイル電流による分と２次コイル電流による分を考え、１次コイル電流による磁界（界磁）と２次コイル電流によって励起された回転子内の等価電流（分布している）によるローレンツ力をもとめなければなりませんので、式では出てきません。2次コイル電流によって励起された回転子内の等価電流は分布しているため回転子全体にわたる積分となります。
回転子の磁化を表現する等価電流分布を計算することは不可能ですね。
ただこう考えてみると、２次コイルはこれら等価電流を誘発する役目なので、２次コイル電流自体はトルクにあまり関与しない、ということがわかるわけですよ。
■
そう考えると上のスタインメッツ式は実にこの難関を簡単に突破していて驚きですね。
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http://plaza.rakuten.co.jp/masha1977/diary/?PageId=1&ctgy=16
から、
問１
定格電圧２００（Ｖ）、定格周波数５０（Ｈｚ）、４極の三相かご型誘導電動機があり、Ｌ形等価回路において星形一相一次換算の抵抗値及びリアクタンス値は、次のとおりである。
一次抵抗ｒ１＝０．０７０７（Ω）
一次漏れリアクタンスｘ１＝０．１７２（Ω）
二次抵抗ｒ２＝０．０７１０（Ω）
二次漏れリアクタンスｘ２＝０．２６７（Ω）
この電動機に回転速度の二乗に比例するトルクを要求する負荷をかけ、一次周波数制御を行なって運転しているとき、次の問に答えよ。
（１）一次周波数を定格値に保ち、回転速度１４５５（ｒ／ｍｉｎ）で運転しているときのトルク（Ｎ・ｍ）を求めよ。
（２）回転速度１２００（ｒ／ｍｉｎ）で運転しているときに負荷が要求するトルク（Ｎ・ｍ）、及び定格一次周波数にこのトルクを発生させるための電動機の滑り（％）を求めよ。
（３）問（２）で求めた負荷トルクを負って１２００（ｒ／ｍｉｎ）で運転するための、電動機の一次周波数（Ｈｚ）を求めよ。ただし、電動機の周期速度に対する滑りは、トルクが同一ならば一次周波数にかかわらず一定とし、また、電動機の滑りとトルクの関係は直線で表せる範囲にあるものとする。
【解答】
（１）問題のかご型誘導電動機の同期速度Ｎ０および同期角速度ω０は、次式で表せる。
Ｎ０＝１２０×５０／４＝１５００（ｒ／ｍｉｎ）
ω０＝４π×５０／４＝５０π（ｒａｄ／ｓ）
したがって、一次周波数が定格値、１４５５（ｒ／ｍｉｎ）で運転しているときの滑りｓは、
ｓ＝１－１４５５／１５００＝０．０３
となる。ところで、電動機のＬ形同化回路は第１図のようになるから、一次換算した二次電流Ｉ２は、次式で表せる。
Ｉ２＝Ｖ／√｛（ｒ１＋ｒ２／ｓ）^2＋（ｘ１＋ｘ２）^2｝
上式へ、ｒ１＝０．０７０７（Ω）、ｒ２＝０．０７１０（Ω）、ｘ１＝０．１７２（Ω）、ｘ２＝０．２６７（Ω）、ｓ＝０．０３、Ｖ＝２００／√３（Ｖ）を代入すれば、
Ｉ２≒４６．６２（Ａ）
また、トルクＴｈａ，第１図より、
Ｔ＝１／ω０（１－ｓ）×３×（１－ｓ）／ｓ・ｒ２Ｉ２^2
＝３ｒ２／（ω０ｓ）・Ｉ２^2
で表せるから、求めるトルクＴは、
Ｔ≒９８．２４（Ｎ・ｍ）
となる。
（２）回転速度が１２００（ｒ／ｍｉｎ）のとき負荷が要求するトルクＴ’は、題意より、回転速度の２乗に比例するから、次式で求まる。
Ｔ’＝（１２００／１４５５）^2×９８．２４
≒６６．８２（Ｎ・ｍ）
また、定格一次周波数にてこのトルクを発生させるときの滑りｓ’は、題意より、電動機の滑りとトルクの関係は直線で表せるから、次式で求まる。
ｓ’＝０．０３×６６．８２／９８．２４
≒０．０２０４→２．０４（％）
（３）定トルク負荷を負って電動機が周波数ｆで運転しているときの滑りをｓとすると、周波数がｆ’になったときの滑りｓ’’は、題意により、一次周波数に無関係に一定だから、（２）で求めたｓ’に等しい。
∴ｓ’’＝ｓ’＝０．０２０４
このときの回転速度Ｎ’（＝１２００ｒ／ｍｉｎ）は、
Ｎ’＝（１－ｓ’’）Ｎ０’
＝（１－ｓ’’）１２０ｆ’／ｐ
∴ｆ’＝Ｎ’ｐ／１２０（１－ｓ’’）
＝４０．８３≒４０．８（Ｈｚ）
