SonofSamlawのブログ

うひょひょ

おお、Z変換のすばらしさを見よ!


サンプルシステム解析におけるZ変換のすばらしさ!

      図1 サンプルシステム1次IIRフィルタ

 

 図1はサンプル(離散)システムであり、IIRフィルタ(無限インパルス応答)である。フィードバックがおこなわれている。z^-1は、そのデータの1つ前のデータを示す。つまりz^-1通ると1つ前のデータになる。

 

     y(n)=x(n)+B*x(n-1)+A*y(n-1)     (1)

 

は上図のxとyの関係である。これからそれを証明しよう。Z変換で考えます。

X=Z(x(n))で、Xをx(n)のZ変換であることを表すことにします。
 図の場合x(n)からa1までの伝達関数はX=Z(x(n)),A1=Z(a1(n))とすれば、

     A1=X/(1-A*z^-1)

です。Z変換されると、このような計算が可能になります。A2=Z(a2(n))とすれば、

     A2=A1*z^-1

     Y=Z(y(n))として、

     Y=X*(1+B*Z^-1)/(1-A*z^-1)

となります。これから、

     Y*(1-A*z^-1)=X*(1+B*z^-1)

これを逆変換すると、

     y(n)-A*y(n-1)=x(n)+B*x(n-1)

     y(n)=x(n)+B*x(n-1)+A*y(n-1) ----(1)

と簡単になるのですが、Z変換を使わないで数列だけでやってみたら、したのように大変で挫折しました。いかにZ変換が有力かがわかります。これはラプラス変換についても言えます。


    

 

    *****図から数列から関係式(1)を導く*****

a1(n)=x(n)+A*a2(n)

a2(n)=a1(n-1)
------------------------

a1(n)=x(n)+A*a1(n-1)
a1(n-1)=x(n-1)+A*a1(n-2)

y(n)=a1(n)+B*a1(n-1)
y(n-1)=a1(n-1)+B*a1(n-2)
------------------------
4-->2

a1(n)=x(n)+A*a1(n-1)
a1(n-1)=x(n-1)+A/B*(y(n-1)-a1(n-1))

y(n)=a1(n)+B*a1(n-1)
------------------------
3-->1,2

a1(n)=x(n)+A*(y(n)-a1(n))/B
(y(n)-a1(n))/B=x(n-1)+A/B*(y(n-1)-(y(n)-a1(n))/B)

-------------------------------
3-->1,2整理

B*a1(n)=B*x(n)+A*(y(n)-a1(n))

(y(n)-a1(n))=B*x(n-1)+A*(y(n-1)-(y(n)-a1(n))/B)

---------------------------------------
1から

B*a1(n)+A*a1(n)=B*x(n)+A*y(n)

a1(n)=(B*x(n)+A*y(n))/(A+B)

これを2にいれる

*1/(A+B)/B)

だめだこれでは・・・

たすけてくれ



  

 

*1:A+B)*y(n)-(B*x(n)+A*y(n)))=(A+B)*B*x(n-1)+(A+B)*A*(y(n-1)-(y(n)-(B*x(n)+A*y(n