ライター：misao007009さん（最終更新日時:2017/2/22）投稿日：2017/2/22
なかなか厳密な証明がかかれていないが、それを試みてみる・
■質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170803368
ストークスの定理の証明で分からないところがあります。
ストークスの定理の証明は、
http://www.iwata-system-support.com/CAE_HomePage/vector/vectana14/v...
このHPのように、「xy平面に平行な微小長方形を考え、そこで定理が成立するので、
任意の図形でも成り立つ。」としているものが多いと思います。
けれど、微小長方形に平行な平面の座標が(u, v)と変わると、
定理の
「∫_(C)(F→)・(x→) = ∫∫_(S)rot(F→)・d(S→)」・・・(1)
のF(x,y,z)もG(u,v)と関数が変わってしまうので、
「∫_(C)(G→)・(l→) = ∫∫_(S)rot(G→)・d(S→)」を変ってしまうので、
(u,v)から(x,y,z)に変換し直す必要があると思うので、それほど単純に明らかではないと私は思うのですが、どうでしょうか？
変換の方法などももし分かりましたら、合わせて教えて頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。
■回答
まず、これみてください。
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ベクトルの回転ｒｏｔＥの正体
ベクトルの回転、ｒｏｔＥの正体 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
任意で微小な面Ｓとその周囲がある場合、ベクトルＥの積分、
∲（周囲）Ｅ・ｄｌ
≒∫（Ｓｘｙの面積分）（ー＜ｘｙ＞＋＜ｙｘ＞）ｄｘｄｙ
＋∫（Ｓｙｚの面積分）（ー＜ｙｚ＞＋＜ｚｙ＞）ｄｙｄｚ
＋∫（Ｓｚｘの面積分）（ー＜ｚｘ＞＋＜ｘｚ＞）ｄｚｄｘ
を証明しています。ここで、
∂Ｅｘ／∂ｘ (Ex0,Ey0,Ez0における）ーー＞＜ｘｘ＞
∂Ｅｙ／∂ｘ (Ex0,Ey0,Ez0における）ーー＞＜ｙｘ＞
∂Ｅｚ／∂ｘ (Ex0,Ey0,Ez0における）ーー＞＜ｚｘ＞
と簡略化して書いています。微小な面の中央での微分値です。
≒は、この面Ｓをーー＞０にしたとき、＝に近づきます。
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この式の右辺はＳを微小ｄＳとすれば、
≒（ー＜ｘｙ＞＋＜ｙｘ＞）ｄＳｘｙ
＋（ー＜ｙｚ＞＋＜ｚｙ＞）ｄＳｙｚ
＋（ー＜ｚｘ＞＋＜ｘｚ＞）ｄＳｚｘ
と近似できます。
ｄＳをベクトルとし、
ｄＳｘｙ－－＞ｄＳｚ
ｄＳｙｚ－－＞ｄＳｘ
ｄＳｚｘ－－＞ｄＳｙ
とかきかえれば、
＝（ー＜ｘｙ＞＋＜ｙｘ＞）ｄＳｚ
＋（ー＜ｙｚ＞＋＜ｚｙ＞）ｄＳｘ
＋（ー＜ｚｘ＞＋＜ｘｚ＞）ｄＳｙ
＝ｒｏｔＥ・ｄＳ
となります。
こんどは、有限ば曲面Ｓを考えます。この曲面上で、
∫（Ｓ）ｒｏｔＥ・ｄＳ
を考えます。
ｒｏｔＥ・ｄＳは上の式でｄＳの周囲線による周回積分に等しくなります。
これを合成すれば、となりの周回路同士で方向が打ち消しあうので、結局Ｓの周囲による周回積分に等しくなります。
つまり、
∲（Ｓ周囲）Ｅ・ｄｌ＝∫（Ｓ）ｒｏｔＥ・ｄＳ
