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p=(x,y,z)∈R^3とする。ベクトル場V(p)=(v_x(p),v_... - Yahoo!知恵袋

p = (x, y, z) ∈ R^3 とする。ベクトル場 V (p) = (v_x(p), v_y(p), v_z(p)) に対し (以下では変数の (p) の部分を省略する), V · dr = v_x dx + v_y dy + v_z dz V · dS = v_x dy ∧ dz + v_y dz ∧ dx + v_zdx ∧ dy と定める。

(1) V に対し rot V を rotV =(∂v_z/∂y −∂v_y/∂z ,∂v_x/∂z −∂v_z/∂x ,∂v_y/∂x −∂v_x/∂y ) により定める。この時、 d(V · dr) = rot V · dS が成り立つことを示せ。 (2) V に対し div V を div V =∂v_x/∂x +∂v_y/∂y +∂v_z/∂z により定める. この時, d(V · dS) = div V dx ∧ dy ∧ dz が成り立つことを示せ.

(3) S を R^3 内の曲面とする. この時, Stokes の定理を用いると, 等式 ∫_S rot V · dS = ∫_∂S V · dr が成り立つことを示せ.

(4) V を R^3 内の 3 次元立体とする. この時,Stokes の定理を用いると, 等式 ∫_V div V · dS =∫_∂V V · dS が成り立つことを示せ.