ラプラス変換と畳み込み

ラプラス変換におけるもっとも重要な定理である。

を証明する。

３つの証明をかいてみた。

■証明１

 ときわ台学/ラプラス変換/たたみこみ（合成積） (f-denshi.com)

この証明に疑問あり・・・

■証明２（筆者）

ｔ＜０でｆ（ｔ）、ｇ（ｔ）＝０とする。

■証明３
畳み込み（合成積）とは：ラプラス変換の性質と導出 | 趣味の大学数学 (math-fun.net)

したがって、フビニの定理（積分の順序交換）

重積分とは？ 逐次積分による計算法（フビニの定理） | 趣味の大学数学 (math-fun.net)

により

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{�}^{-��}�(�)��{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{�}^{-��}�(�)��}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{�}^{-��}�(�)��{\int }_{�}^{\mathrm{\infty }}{�}^{-�(�-�)}�(�-�)��}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}�(�)({\int }_{�}^{\mathrm{\infty }}{�}^{-��}�(�-�)��)��}\end{array}$$