素因数分解の一意性を帰納法にて証明してみます。
少し難しいかもしれませんが、挑戦してみてください。
整数論の土台ですので・・・
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因数分解の定理で、
「ある数Ｘは一通りの素数の積で表せる」
というのがありますが、この命題を正確に把握している者は少ない。
ここで大事なことは、「一通り」ということです。何通りにも素数積
表現されることはない、ということです。ここが難しい！
わたしは、高校のときこの問題に悩み、いろいろな人に質問したが、
だれもが「一通り」というところを考えていません。
この定理をはじめて証明して見せたのは、ガウスであるそうです。
X=ab=cb ：abとcdは異なる素数の積
ということは、絶対にできない、という証明に悩むのです。
この本には、つぎの文章もありましたので、引用しておきます。
ｐが素数であるとき、ａｂがｐで割り切れる、ということは、ａがｐで割り切れるか、ｂがｐで割り切れるかである。これが素因数分解の一意性を意味している。 （私は、この証明を高校のとき挑みましたがだめでした。要は、ａ、ｂの因数以外では、ａｂをを割り切ることはできない、ということです。）
ガウスの「数論講究」（１８０１年）には、任意の合成数が素因数へと分解できることは明らかだが、多くの異なる方法で行うことができないということは暗黙に仮定されていて、証明されていない。
とある。
では、証明してみませう。
■証明開始
素因数分解が２通りできることを仮定し、それが矛盾することから
一意性を導く。
まず、最小の合成数４に注目する。２＊２と素因数分解できる。よって、
最小合成数に対して一意性は証明された。
続いて、Ｃより小さい合成数はすべて一意性を満足し、Ｃが二通りの
分解、
Ｃ＝α１β１γ１＊・・・＊δ１＝α２β２γ２＊・・・＊δ２
をもつと仮定する。もし、α１＝α２なら、全体をα１で割って、
Ｃ／α１＝β１γ１＊・・・＊δ１＝β２γ２＊・・・＊δ２
となる。Ｃ／α１＜Ｃである。Ｃより小さい合成数はすべて一意性を満足する、と仮定しているので、α１＝α２なら、二つの分解は一致してしまうことになる。
そこで、α１＞α２とし、Ｃの定義式の両辺から
α２β１γ１＊・・・＊δ１
を引き、それをＣ２とする。
左辺＝（α１β１γ１＊・・・＊δ１）－（α２β１γ１＊・・・＊δ１）
＝（α１ーα２）β１γ１＊・・・＊δ１
右辺＝（α２β２γ２＊・・・＊δ２）－（α２β１γ１＊・・・＊δ１
＝α２（β２γ２＊・・・＊δ２－β１γ１＊・・・＊δ１）
Ｃ２＜Ｃだから、Ｃ２には分解の一意性が成り立つはず。
右辺の式からα２はＣ２の因数である。仮定よりα２はα１、β１、
・・・γ１のどれとも等しくない。Ｃ２は分解の一意性か成り立つので、左辺の式より、α２は（α１－α２）の約数でなければならない。
すると、
（α１－α２）＝α２＊Ｑ
α１＝α２（１＋Ｑ）
となり、
α１、α２は異なる素数である、という仮定に反するので、これは
あり得ない。ということはＣ２は二通りに素因数分解できることになり、仮定に反する。
よって、素因数分解は唯一通りに表されることが、証明された。
■証明終わり
参考：吉田 武「オイラーの贈物」ちくま学芸文庫
後半はかなり書きかえて、わかりやすくしました。
原文をみて、初めはちんぷんかんぷんでした。
■原文
上の左辺・右辺の式の後は、次の文でした。
素数α２は式中のどの数とも異なるので、α２は（α１－α２）の約数でなければ、この両辺は一致しない。これは、α２がα１の約数でなければ満たされない。ところが、α１、α２は異なる素数であるのだから、これはあり得ない。従って、Ｃ２は二通りに分解されてしまい、これは仮定に反する。
よって、素因数分解は唯一通りに表されることが、証明された。
