変圧器の解析
変圧器の理解の仕方、処理の仕方には２つある。これを整理してみた。
図１ 変圧器モデル
■変圧器の構成
図１において、コイル１と２が高透磁率のコアに巻いてある。簡単のためにコイルは同一場所に巻いてあり（つまり広がりがなく）、巻き数はＮ１，Ｎ２とする。コイル１を１ターンとしたときの電流１Ａによるコイル１中の磁束Φ１のうち、コイル２を通る部分をΦ１２とする。おなじく、コイル２を１ターンとしたときの電流１Ａによるコイル２中の磁束Φ２のうち、コイル１を通る部分をΦ２１とする。コイルを通るとは、コイルの部分を通る磁束であり、巻き数は関係なくコイルの巻いてある部分をを通るものを考える。相反性から、
ΦＭ＝Φ１２＝Φ２１ －－－（１）
ここで、変圧比Ｎ１／Ｎ２＝Ｖ１’／Ｖ２’をａとすることを覚えていてもらいたい。
相反定理は次を参照
http://qube.phys.kindai.ac.jp/users/kondo/lectures/em_tb/node195.html
図２ 変圧器モデル
そこで、これらの結果より変圧器の等価回路を図２の（ｂ）のように考える。Ｌ１’，Ｌ２’は漏れインダクタンスと言われる。ＬＸ１，２の上の点は、それが同じ方向にあるとき、Ｍが正であることを示す。つまり、図２の状態において、Ｖ１’によって生じる磁束ΦＭによって生じるＶ２’は、図の位置でＶ１’と同相であるということだ。もし、この点が互い違いに打ってあれば、Ｖ１’とＶ２’が逆相であることになる。Ｍで言えば、これが負になるのである。
ＬＸ１＝Ｌ１＋Ｌ１’
ＬＸ２＝Ｌ２＋Ｌ２’
Ｌ１’，Ｌ２’は漏れインダクタンスという。
Ｌ１＝Φ１２＊Ｎ１＾２＝ΦＭ＊Ｎ１＾２ －－－（２）
Ｌ１’＝（Φ１－Φ１２）Ｎ１＾２＝（Φ１－ΦＭ）Ｎ１＾２ －－－（３）
Ｌ２＝Φ２１＊Ｎ２＾２＝ ΦＭ＊Ｎ２＾２ －－－（４）
Ｌ２’＝（Φ２－Φ２１）Ｎ２＾２＝（Φ２－ΦＭ）Ｎ２＾２ －－－（５）
Ｍ＝Φ１２＊Ｎ１＊Ｎ２＝Φ２１＊Ｎ１＊Ｎ２ －－－（６）
＝ΦＭ＊Ｎ１＊Ｎ２＝√（Ｌ１＊Ｌ２） －－－（７）
■第一の等価回路（Ｔ型等価回路）
これは回路理論で出てくる。完全な数学的な扱いである。
図２（ａ）のＴ型等価回路を４端子パラメータ論により、エレガントに考えてみる。この等価回路は、無条件に機械的に成立し、漏れインダクタンスなど理解する必要はない。もっとも簡単で論理的な等価回路ではあるが、変圧器の理解は深まらない。
より考える。
図３ Ｔ型回路
図２（ａ）より、
Ｖ１＝ｊωＬＸ１＊Ｉ１＋ｊωＭ＊Ｉ２ －－（８）
Ｖ２＝ｊωＬＸ２＊Ｉ２＋ｊωＭ＊Ｉ１ －－（９）
図３では、
Ｖ１＝（Ｚ１＋Ｚ２）＊Ｉ１＋Ｚ２＊Ｉ２
Ｖ２＝Ｚ２＊Ｉ１＋（Ｚ２＋Ｚ３）＊Ｉ２
となるから、ここで
Ｘ１＝ｊωＬＸ１
Ｘ２＝ｊωＬＸ２
Ｘ３＝ｊωＭ
とおくと、
Ｚ１＋Ｚ２＝Ｘ１
Ｚ２＝Ｘ３
Ｚ２＝Ｘ３
Ｚ２＋Ｚ３＝Ｘ２
となるので、
Ｚ２＝Ｘ３＝ｊωＭ
Ｚ１＝Ｘ１－Ｘ３＝ｊω（ＬＸ１－Ｍ）
Ｚ３＝Ｘ２－Ｘ３＝ｊω（ＬＸ２－Ｍ）
という関係があれば、図４は（８）（９）式の関係が成り立っている。この場合、ＬＸ１、ＬＸ２，Ｍの間には制約はない。変圧器の極性が逆である時は、Ｍを負にすればいい。図７の各インダクタンスは負の値もあり得る。あくまでも数学モデルである。
図４ 式（１４）（１５）を実現するＴ型回路
もし、巻き方が 逆極性であれば、つまり、ＬＸ１，２の点が互い違いであるならば、Ｍが負になる。これを正の数ＭによりーＭと表せば、図５のようになる。－Ｍというインダクタンス（Ｍは正）は現実にはない。つまり、この回路は実現はできない。つまり、この回路をＴ型回路で実現することはできない。しかし、ＩＮ／ＯＵＴ間の関係は、図２（ａ）と同じなのである。単なる数学的なモデルである。
図５ 逆極性の場合のＴ型等価回路
■第二の等価回路（電気機器学でやる考え方）
http://ja.wikipedia.org/wiki/漏れインダクタンス
これは電気機器学で出てくる。実際の動作から考えられている。上の等価回路のような非現実なものは出てこない。
図６ もれ磁束なし変圧器
電気機器学では次のように説明される。図６、つまり図２（ｂ）でＬ１’、Ｌ２’がない場合で考える。この場合、Ｌ１を通る磁束はすべてＬ２も通る。逆も成り立つ。
まず、負荷Ｚがない場合、コイル１の磁束ΦＭ＝Φ１２＝Φ２１による電圧が１次側電圧Ｖ１’に釣り合う。
Ｖ１’＝ｊωΦＭ＊Ｎ１
より、
ΦＭ＝Ｖ１’／（ｊω＊Ｎ１）
このΦＭによる２次側の電圧Ｖ２’は、
Ｖ２’＝ｊωΦＭ＊Ｎ２＝ｊω＊Ｎ２＊Ｖ１’／（ｊω＊Ｎ１）
＝Ｎ２＊Ｖ１’／Ｎ１
Ｖ２’／Ｖ１’＝Ｎ２／Ｎ１
そして、このときＩ１は、
Ｉ１＝Ｖ１’／（ｊωＬ１）＝Ｖ１’／（ｊωΦＭ＊Ｎ１＾２）
が流れる。これを一般にはＩ０と書き、励磁電流という。
このとき、
Ｌ１＊Ｉ１＝Ｌ２＊Ｉ２＝ΦＭ
Ｌ１＝Ａ＊Ｎ１＾２
Ｌ２＝Ａ＊Ｎ２＾２
Ｌ１／Ｌ２＝（Ｎ１／Ｎ２）＾２
ここで、負荷Ｚをつなげて２次電流Ｉ２が流れたとする。この電流Ｉ２により、磁路の磁束は変化する。すると誘起電圧がＶ１’と釣り合わなくなるので、ほぼ瞬間的に１次側からこれを打ち消すために１次電流が流れる。起磁力の釣り合いから、これは次の関係を満足しなければならない。
Ｉ１負荷＊Ｎ１＝Ｉ２＊Ｎ２
つまり、
Ｉ１負荷＝Ｉ２＊Ｎ２／Ｎ１
となる電流が、Ｉ０に追加されることになる。そこで１次電流Ｉ１は、
Ｉ１＝Ｉ０＋Ｉ１負荷
となる。この等価回路は図７となる。
図７ 変圧器の等価回路
ここで、理想変圧器とは、励磁電流がいらなく、電圧比がＮ１：Ｎ２、電流比がＮ２：Ｎ１の仮想素子（機器）である。 つまりＶ１’を加えたとき、Ｖ２’＝Ｖ１’＊Ｎ２／Ｎ１となり、Ｉ２’が流されるとＩ１’＝Ｉ２’＊Ｎ２／Ｎ１が流れるという、架空の装置なのである。
変圧比Ｎ１／Ｎ２＝Ｖ１’／Ｖ２’をａとし、Ｖ１とＩ１の関係のみに注目すると、図７はさらに図８になる。この図は、１次側の電流 Ｉ１のみが元回路と等価なのである。
図８ １次側に換算した等価回路
ーーーーーーーー おわり ーーーーーーーーーーー
参考
http://www.electrical4u.com/equivalent-circuit-of-transformer-referred-to-primary-and-secondary/
http://simcir.co.jp/Circuit_Theory/Mutual_Induction.html
＝＝＝＝＝＝＝＝＝以下保留＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
■図３にもれ磁束がない部分のみを示す。この部分を解析する。
Ｖ１’＝ｊωＬ１＊Ｉ１＋ｊωＭ＊Ｉ２ －－（８）
Ｖ２’＝ｊωＬ２＊Ｉ２＋ｊωＭ＊Ｉ１ －－（９）
端子２に抵抗Ｚがついていると、
Ｖ２’＝－Ｉ２＊Ｚ －－－（１０）
（９）式に入れ、
－Ｉ２＊Ｚ＝ｊωＬ２＊Ｉ２＋ｊωＭ＊Ｉ１
Ｉ２（－Ｚ－ｊωＬ２）＝ｊωＭ＊Ｉ１
Ｉ２＝ｊωＭ＊Ｉ１／（－Ｚ－ｊωＬ２）
これを（８）式に入れ、
Ｖ１’＝ｊωＬ１＊Ｉ１＋ｊωＭ＊ｊωＭ＊Ｉ１／（－Ｚ－ｊωＬ２）
Ｉ１＝Ｖ１’／（ｊωＬ１＋ｊωＭ＊ｊωＭ／（－Ｚ－ｊωＬ２））
＝Ｖ１’＊（－Ｚ－ｊωＬ２）／（ーｊωＬ１＊Ｚ＋ω＾２Ｌ１Ｌ２ーω＾２Ｍ＾２）
（２）（４）（６）（７）から、
Ｌ１＊Ｌ２＝Ｍ＾２であるから、
Ｉ１＝Ｖ１’＊（Ｚ＋ｊωＬ２）／（ｊωＬ１＊Ｚ） ーーー（１１）
Ｉ１＝Ｖ１’＊（１／ｊωＬ１＋Ｌ２／（Ｌ１＊Ｚ））
＝Ｖ１’＊（１／ｊωＬ１＋Ｎ２＾２／（Ｎ１＾２＊Ｚ）） ーー（１１）’
一方（８）（９）式から、
Ｌ２＊Ｖ１’＝ｊωＬ１Ｌ２＊Ｉ１＋ｊωＭ＊Ｌ２＊Ｉ２
Ｍ＊Ｖ２’＝ｊωＬ２＊Ｍ＊Ｉ２＋ｊωＭ＾２＊Ｉ１
となり差をとると、この場合、Ｌ１＊Ｌ２＝Ｍ＾２であるので、
Ｌ２＊Ｖ１’ ー Ｍ＊Ｖ２’＝Ｉ１（ｊωＬ１Ｌ２ーｊωＭ＾２ ） ＝０
Ｖ２’／Ｖ１’＝Ｌ２／Ｍ＝√（Ｌ２／Ｌ１）＝Ｎ２／Ｎ１ －－－（１２）
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Ｌ２＝Ｌ１／ａ＾２
であるから、
Ｚａ＝Ｚ＊ａ＾２
と置くと、
Ｉ１＝Ｖ１’＊（Ｚａ／ａ＾２＋ｊωＬ１／ａ＾２）／（ｊωＬ１＊Ｚａ／ａ＾２）
＝ Ｖ１’＊（Ｚａ＋ｊωＬ１）／（ｊωＬ１＊Ｚａ） ーーー（１３）
となり、これは図４のような等価回路になる。
図４ 式（１３）に対応する等価回路
この図４は１次側の電圧、電流に関しては図３と等しいが、２次電圧は異なる。つまり、１次側に換算された等価回路なのである。この場合、つまり、図２において、Ｎ１＝Ｎ２として、他の定数を次のように変換した場合に等しい。
Ｌ１＝ΦＭ＊Ｎ１＾２
Ｌ２ーー＞Ｌ２ａ＝ΦＭ＊Ｎ２＾２＊ａ＾２＝ΦＭ＊Ｎ１＾２＝Ｌ１
Ｌ１’＝（Φ１－ΦＭ）Ｎ１＾２ ＝Φ１＊Ｎ１＾２－Ｍａ
＝ ＬＸ１－Ｍａ
Ｌ２’ーー＞Ｌ２ａ’＝Ｌ２’＊ａ＾２＝（Φ２－ΦＭ）Ｎ２＾２＊ａ＾２
＝（Φ２－ΦＭ）Ｎ１＾２ ＝Φ２＊Ｎ１＾２－Ｍａ
＝ＬＸ２＊ａ＾２－Ｍａ
Ｍーー＞Ｍａ＝Ｍ＊ａ＝ΦＭ＊Ｎ１＊Ｎ２＊ａ＝ΦＭ＊Ｎ１＾２
これを図５に示す。これが良く出てくる図である。図４のＺは、図５から、
Ｚ＝ＬＸ２－Ｍ／ａ＋ＺＬ
となる。
図５ 図２を１次側に換算した等価回路
