漸化式のＺ変換による解法

漸化式のＺ変換による解法　

　漸化式で示された関係から数列を求める問題である。

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12138494067

三項間漸化式

a(n+2)－(α＋β）a(n+1)+αβa(n)=0
⇔a(n)=ｓα＾ｎ＋ｔβ＾ｎ （ｓ、ｔは任意定数）

を示してください。

高校生なのですが、授業で←のみの証明しかされなかったので気になります。
おそらく、→は高校生には難しいから省かれたのかもしれませんが、できるだけわかりやすく教えてください。

■回答

a(n+2)－(α＋β）a(n+1)+αβa(n)=0
で、ｎ＝０，１では、＝０でなく、＝g、fとします。g、fは任意。そうしないと、この数列は定義できない。初めの２つは決めておかなくてはならない。つぎの表になる。

n    a(n+2)　 a(n+1)　   a(n)　　　　a(n+2)－(α＋β）a(n+1)+αβa(n)

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0      a(2)         g            f                        c                

1      a(3)        a(2)         g                        d

2      a(4)        a(3)        a(2)                     0

3      a(5)        a(4)        a(3)                     0

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ｇ，ｆは任意だからｃ、ｄも任意である。

そこで、
各項の数列をＺ変換する。ａｎのＺ変換をＡ（ｚ）とする。
Ａz^2－(α＋β）Ａz^1+αβＡ=c+dz^-1
Ａ（ｚ＾２－（α＋β）ｚ＾１+αβ）=c+dz^-1
A=(c+dz^-1)/（ｚ＾２－（α＋β）ｚ＾１+αβ）
=(c+dz^-1)/（(ｚ-α)(z-β))
=(cz+d)/（z(ｚ-α)(z-β))
=A'/z
A'=(cz+d)/（(ｚ-α)(z-β))
であるから、Ａ’を逆変換して数列ａ’（ｎ）を求め、１つずらせばよいことになる。

Ａ’を部分分数にすると、
Ａ’=(cα+d)/（(ｚ-α)(α-β))+(cβ+d)/（(β-α)(z-β))
ここで、新たに
ｓ=(cα+d)/(α-β)
ｔ=(cβ+d)/(β-α)
と置く。ｓ、ｔも任意となる。すると、
Ａ’＝ｓ/(ｚ-α)+ｔ/(z-β)
ここで
Ａ’’＝Ａ’ｚ＝ｓｚ/(ｚ-α)+ｔｚ/(z-β)
としこれを逆Ｚ変換すると、
http://ja.wikipedia.org/wiki/Z変換
ａ’’（ｎ）＝Z-1[ｓｚ/(ｚ-α)+ｔｚ/(z-β)]＝ｓα^n+tβ^n
ここで、ｎ＝１，２、・・・
であるが、これはＡ’’の逆変換であり、Ａの逆変換は
a(1)=c
a(2)=d
a(3)=a''(1)
a(4)=a''(2)
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a(n)=ｓα^(n-2)+tβ^(n-2)
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