Ｚ変換で得られた離散系の伝達関数と差分方程式の関係を求める。
ＩＮされる数列をｘ（ｉ）、ＯＵＴされる数列をｙ（ｉ）とし、そのＺ変換をＸ，Ｙとする。ＸとＹの関係が、
Ｙ＝Ｘ（ａ０＋ａ１＊ｚ＾－１＋ａ２＊ｚ＾－２＋・・・）
／（１＋ｂ１＊ｚ＾－１＋ｂ２＊ｚ＾－２＋・・・）
であるとする。これを変形すると、
Ｙ（１＋ｂ１＊ｚ＾－１＋ｂ２＊ｚ＾－２＋・・・）
＝Ｘ（ａ０＋ａ１＊ｚ＾－１＋ａ２＊ｚ＾－２＋・・・）
Y＝ｙ（０）＋ｙ（１）ｚ＾ー１＋・・・
X＝ｘ（０）＋ｘ（１）ｚ＾ー１＋・・・
となり、これを整理し、数列の関係で示すと次になる。
Zの同じ次数で整理している。
y(0) +b1y(-1) +b2y(-2) ・・ = a0x(0)+a1x((-1) +a2x(-2) ・・
y(1)z^-1+b1y(0)z^-1+b2y(-1)z^-1・・ a0x(1)z^-1+a1x((0)z^-1+a2x(-1)z^-1・・
y(2)z-2+b1y(1)z^-2+b2y(0)z^-2・・ a0x(2)z^-2+a1x((1)z^-2+a2x(0)z^-2・・
y(3)z^-3+b1y(2)z^-3+b2y(1)z^-3・・ a0x(3)z^-3+a1x((2)z^-3+a2x(1)z^-3・・
・・・
・・・
この方程式はｚが任意で成り立たなければならないから、すべての項を左辺に移したとき、ｚの係数＝０でなければならない。つまり、任意のｉにおいて、
y(i)+b1y(i-1)+b2y(i-2)・・=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・
が成り立たなければならない。これは、
y(i）=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・-b1y(i-1)-b2y(i-2)・・
となり、ｉ番目のｙはそれ以前のｘ、ｙから決定する。
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