SonofSamlawのブログ

うひょひょ

離散系伝達関数と差分方程式の関係

    

         


 Z変換で得られた離散系の伝達関数と差分方程式の関係を求める。

 

                     

INされる数列をx(i)、OUTされる数列をy(i)とし、そのZ変換をX,Yとする。XとYの関係が、

   

Y=X(a0+a1*z^-1+a2*z^-2+・・・)

(1+b1*z^-1+b2*z^-2+・・・)

であるとする。これを変形すると、

Y(1+b1*z^-1+b2*z^-2+・・・)

 =X(a0+a1*z^-1+a2*z^-2+・・・)

となり、これを展開(変形)すると次になる。

 

y(0)       +b1y(-1)    +b2y(-2) ・・   =a0x(0)+a1x((-1)  +a2x(-2)   ・・

y(1)z^-1+b1y(0)z^-1+b2y(-1)z^-1・・ a0x(1)z^-1+a1x((0)z^-1+a2x(-1)z^-1・・ 

y(2)z-2+b1y(1)z^-2+b2y(0)z^-2・・    a0x(2)z^-2+a1x((1)z^-2+a2x(0)z^-2・・

y(3)z^-3+b1y(2)z^-3+b2y(1)z^-3・・   a0x(3)z^-3+a1x((2)z^-3+a2x(1)z^-3・・

・・・

・・・

この方程式はzが任意で成り立たなければならないから、すべての項を左辺に移したとき、zの係数=0でなければならない。つまり、任意のiにおいて、

y(i)+b1y(i-1)+b2y(i-2)・・=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・ 

が成り立たなければならない。これは、

y(i)=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・-b1y(i-1)-b2y(i-2)・・

となり、i番目のyはそれ以前のx、yから決定する。

 

 

 

 

 

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