Ｚ変換で得られた離散系の伝達関数と漸化式との関係を求める。
ＩＮされる数列をｘ（ｉ）、ＯＵＴされる数列をｙ（ｉ）とし、そのＺ変換をＸ，Ｙとする。ＸとＹの関係が、
Ｙ＝Ｘ（ａ０＋ａ１＊ｚ＾－１＋ａ２＊ｚ＾－２＋・・・）
／（１＋ｂ１＊ｚ＾－１＋ｂ２＊ｚ＾－２＋・・・）
であるとする。これを変形すると、
Ｙ（１＋ｂ１＊ｚ＾－１＋ｂ２＊ｚ＾－２＋・・・）
＝Ｘ（ａ０＋ａ１＊ｚ＾－１＋ａ２＊ｚ＾－２＋・・・）
ここで、
Y＝ｙ（０）＋ｙ（１）ｚ＾ー１＋・・・
X＝ｘ（０）＋ｘ（１）ｚ＾ー１＋・・・
とする。
これを整理し、数列の関係で示すと次になる。
Zの同じ次数で整理している。
y(i)の列+ b1y(i)z^-1の列 +b2y(i)z^-2の列= a0x(i)の列 + a1x(i)z^-1の列 + a2x(i)z^-2
y(0) 0 0 a0x(0) 0 0
y(1)z^-1 b1y(0)z^-1 0 a0x(1)z^-1 a1x(0)z^-1 0
y(2)z^-2 b1y(1)z^-2 b2y(0)z^-2 a0x(2)z^-2 a1x(1)z^-2 a2x(0)z^-2
y(3)z^-3 b1y(2)z^-3 b2y(1)z^-3 a0x(3)z^-3 a1x(2)z^-3 a2x(1)z^-3
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この方程式はｚが任意で成り立たなければならないから、すべての項を左辺に移したとき、各ｚ＾（ーｎ）の係数＝０でなければならない。つまり、任意のｉにおいて、
y(i)+b1y(i-1)+b2y(i-2)・・=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・
が成り立たなければならない。これは、次の漸化式となる。
y(i）=a0x(i)+a1x((i-1)+a2x(i-2)・・-b1y(i-1)-b2y(i-2)・・
ｉ番目のｙはそれ以前のｘ、ｙから決定される。
