ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
の証明である。
この本からの引用をメインに考えていく。
＊この本の証明は、下の参考ブログにあるオイラー自身の記述に近い。
参考 ブログ
ネイピア数 ｅ について - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
オイラーによるオイラーの公式の記述 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
■証明のあらすじ
①ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ／ｎ）＾ｎ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
（これはいい）
しかし、
②ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ＝ｅ＾（ｘ）
から、
③ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ／ｎ）＾ｎ＝ｅ＾（ｉｘ）
【上記本では定義とされているが、拡張？？記号的、印的意味？】
という説明がある。
しかし③が納得できない。
つまり、厳密には、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ／ｎ）＾ｎーー＞ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
形式的には、ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ＝ｅ＾（ｘ）から、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ／ｎ）＾ｎ＝ｅ＾（ｉｘ）
そこでだが・・・
これがいえればいいと思う。これだけで・・・
■掛け算で正しい！（サムの考え）
ｅ＾（ｉｘ）e＾（ｉｙ）＝（ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ）（ｃｏｓｙ＋ｉｓｉｎｙ）
を考え、
左辺は、
ｅ＾（ｉｘ）e＾（ｉｙ）＝ｅ＾（ｉｘ＋ｉｙ）
＝ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＋ｉｓｉｎ（ｘ＋ｙ）
右辺は、
（ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ）（ｃｏｓｙ＋ｉｓｉｎｙ）
＝ｃｏｓｘｃｏｓｙーｓｉｎｘｓｉｎｙ
＋ｉ（ｓｉｎｘｃｏｓｙ＋ｓｉｎｙｃｏｓｘ）
＝ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＋iｓｉｎ（ｘ＋ｙ）
であるから、掛け算でも等式は矛盾ない。足し算は言うまでもない。
■微分でも正しい（サムの考え）
ｅ＾（ｉｘ）の微分はｉｅ＾（ｉｘ）
ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘの微分は－ｓｉｎｘ＋ｉｃｏｓｘ
合っている！
だから正しい。
どうだろうか？
■ｅ＾（ｉｘ）の意味（上の本から）
において、ｘ－ー＞ｉΘとしてｅ＾（ｉΘ）の定義とする。すなわち、
をｅ＾（ｉΘ）と定義する。
はすべて複素数の加減乗除であるから、ある複素数となるわけである。
ｎ－＞無限でｃｏｓΘ＋ｉｓｉｎΘに近づくことを証明すればいい。
■それの証明（上記本から）
■まず右辺である
①ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
を証明する。
（１＋ｉΘ／ｎ））＾ｎの偏角と絶対値を求める。
まず、Θ＞０と仮定しよう。
ａｒｇ（１＋ｉΘ／ｎ））＾ｎ＝ｎ（１＋ｉΘ／ｎ））
図１
ここで、Θという長さの線分を２等分して、半径１のの円の外側に接する折れ線を作った時、その先端の偏角になる。
ａｒｇ（１＋ｉΘ／ｎ）＜Θ／ｎ
次の点線の長さを求める。これは外側の折れ線に
１／（√（１＋（Θ＾２／ｎ＾２））
をかけたものである。
間に挟まれたａｒｇ（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎはこれより大きい。すなわち、
Θ／√（１＋Θ＾２／n＾２）＜ａｒｇ（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ＜Θ
次の絶対値である。
｜（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ｜＝｜（１＋ｉΘ／ｎ）｜＾ｎ
＝（１＋Θ＾２／ｎ＾２）＾（ｎ／２）
一方で、
（１＋Θ＾２／ｎ＾２）（１ーΘ＾２／ｎ＾２）
＝１－Θ＾４／ｎ＾４＜１
であるから、
（１＋Θ＾２／ｎ＾２）＾ｎ＜１／（１ーΘ＾２／ｎ＾２）＾ｎ
また、
（１ーΘ＾２／ｎ＾２）＾ｎ＞１－ｎΘ＾２／ｎ＾２＝１－Θ＾２／ｎ
であるから、上の式は、
＜１／（１－Θ＾２／ｎ）
すなわち、
１＜｜（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ｜＜１／（１－Θ＾２／ｎ）
以上の２つから、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）ａｒｇ（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ＝Θ
ｌｉｍ（ｎー＞∞）｜（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎ｜＝１
つまり、（１＋ｉΘ／ｎ）＾ｎは偏角がΘで、絶対値１の複素数に近づく。そのような数は、
ｃｏｓΘ＋ｉｓｉｎΘ
である。Θ＜ーのときはｘ軸を軸として対称のいちにくるだけの違いにで証明は同じである。
すなわち、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉΘ/ｎ）＾ｎ＝ｃｏｓΘ＋ｉｓｉｎΘ
■左辺（サムの考えであり、上記本にはない）
②ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉΘ/ｎ）＾ｎ＝ｅ＾（ｉΘ）の証明
ｆ（ｉｘ）＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ/ｎ）＾ｎ
とする、ここで、ｆ（ｉｘ）とｆ（ｉｙ）の積をかんがえる。
ｆ（ｉｘ）ｆ（ｉｙ）
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ/ｎ）＾ｎ（１＋ｉｙ/ｎ）＾ｎ
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（（１＋ｉｘ/ｎ）（１＋ｉｙ/ｎ））＾ｎ
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（（１＋ｉ（ｘ＋ｙ）/ｎーｘｙ／ｎ＾２）＾ｎ
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（（１＋ｉ（（x＋y）／ｎ）（１ーｘｙ／（（x＋ｙ）ｎ））＾ｎ
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（（１＋ｉ（ｘ＋ｙ）/ｎ）＾ｎ
つまり、ｆ（ｉｘ）ｆ（ｉｙ）＝ｆ（ｉｘ＋ｉｙ）
また、ｆ（ｉｘ）の共役＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１ーｉｘ/ｎ）＾ｎだから、
ｆ（ｉｘ）＊ｆ（ｉｘ）の共役
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ/ｎ）＾ｎ（１ーｉｘ/ｎ）＾ｎ
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋（ｘ/ｎ）＾２）＾ｎ＝１
微分すると、
ｆ’（ｉｘ）
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）ｎ（１＋ｉｘ/ｎ）＾（ｎー１）（ｉ／ｎ）
＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）ｉ（１＋ｉｘ/ｎ）＾（ｎー１）
＝ｉｆ（ｉｘ）
ｅ＾（ｉｘ）を微分すると、
ｌｉｍ（ｈ－＞０）ｅ＾ｉｘ（ｅ＾ｉｈー１）／ｈ
xが小さいとき、
ｅ＾ｘ≒１＋ｘ（ｅの性質）
さらに、
ｅ＾ｉｘ＝１＋ｉｘ
から、ｅ＾（ｉｘ）の微分は、
ｌｉｍ（ｈ－＞０）ｅ＾ｉｘ（ｅ＾ｉｈー１）／ｈ
＝ｉｅ＾ｉｘ
このような関数ｆ（ｉｘ）はｅ＾（ｉｘ）しかない、というか、形式的に印としてそうしておいてもかまわない。
よって、
ｆ（ｘ）＝ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓΘ＋ｉｓｉｎΘ
とすることで、形式的、もしくは「印」としてなりたつ。つまり、計算は印的である左辺で行い、最後の計算は右辺で行うのである。
これは、信号処理で、ラプラス変換やｚ変換が途中の整理に有効であることに似ている。
■ｌｉｍ（ｎ－＞∞）（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ＝ｅ＾ｘの証明（上記本から）
ａｎ＝（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ
と置くと、これを２項展開で展開すれば、
ここで第一二項までは変わらないが、第三項以下を比べてみると、次第に大きくなっている。
つまりｎがぞうかするにつれ、ａｎは次第に増加する。しかし、それは限りなく増加するだろうか？
ａｎ＝（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ
のなかのｎ／ｘを越さない最大の整数をｍとする。ガウス記号では、
ｍ＝［ｎ／ｘ］
である。
であるから、
を上に代入すると、
また、
すなわち、
ここでｎーー＞＋無限とすると、［ｎ／ｘ］＝ｍもーー＞＋∞になる。
だから、その間に挟まれた（１＋ｘ／ｎ）＾ｎもｅ＾ｘに近寄る。
■上の証明の概略
■しかし
と形式的にしてみても、「ｉ乗」というものがわからない。だから上のようには証明できない。
そもそも、
が、計算できない。これが＝ｅであることを証明できるだろうか？
■さらにこう考えてみる。
であり、ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘであるから、
となることがわかる。ここで、
だから、上の式はｈ－＞０でｅ＾（ｋｘ）の微分になり、
これがｋｅ＾（ｋｘ）になることから、
であることがわかる。つまり、ｘ－＞０で、
ｅ＾（ｋｘ）≒１＋ｋｘ
となる。
そこで、ｅ＾（ｉｘ）をかんがえると、ｘ－＞０では、
ｅ＾（ｉｘ）≒１＋ｉｘ
となる。
（やはりテイラー展開で考えないといけないのか・・・）
つまり、
（ｅ＾（ｉｘ））の微分＝ｉｅ＾（ｉｘ）＜－－（ａ）
となる。
■つまり
ｅ＾（ｉｘ）
と
ｌｉｍ（ｎー＞∞）（１＋ｉｘ／ｎ）＾ｎ
は
演算規則が同じになる。
ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓΘ＋ｉｓｉｎΘ
つまり、途中計算は左辺で計算し、最後は右辺で結果を計算する。
つまり、左辺は「印」という意味でしかない。
■おまけ
■「オイラーの贈り物」での証明
では、テイラー展開での証明となっている。
さらには、このような証明も出ていた。
Ａ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
が指数法則、
Ａ（ｘ）Ａ（ｙ）
＝ｃｏｓｘｃｏｓｙーｓｉｎｘｓｉｎｙ＋ｉｃｏｓｘｓｉｎｙ＋ｉｃｏｓｙｓｉｎｘ
＝ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＋ｉｓｉｎ（ｘ＋ｙ）
＝Ａ（ｘ＋ｙ）
となることから、Ａは指数関数（ａ＾（ｋｘ））であり、さらに
Ａ＊Ａの共役＝ｃｏｓｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｓｉｎｘ＝１
だから、
ａ＾（ｋｘ）＊ａ＾（ｋｘ）の共役
＝｜ａ＾（ｋｘ）｜＾２＝１
∴｜ａ＾（ｋｘ）｜＝１
ｘは任意の実数であるから、ｋは実数ならば０であるしかない。
これより、ｋ＝０以外を考えると、指数部は純虚数であることがわかる。つまり、
A＝ａ＾（ｉｋｘ）
ここでＡの導関数をもとめると、
ｄＡ／ｄｘ＝－ｓｉｎｘ＋ｉｃｏｓｘ＝ｉ（ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ）＝ｉＡ
となる。これから、
ｄＡ／Ａ＝ｉｄｘ
ＩｎＡ＝ｉｘ＋ＩｎＤ（積分定数）
Ｉｎ（Ａ／Ｄ）＝ｉｘ
Ａ＝Dｅ＾ｉｘ
となり、
Ａ（０）＝１
より、D＝１となり、
ｅ＾ｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ
を得る。
または、上の（ａ）式から、
（ｅ＾（ｉｘ））の微分＝ｉｅ＾（ｉｘ）
であるから、
A＝ｅ＾（ｉｘ）が解であることは確かである。
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