力学の仕事に関する問題整理

ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2013/9/15）投稿日：2013/9/15

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力学の仕事に関する問題整理

仕事という問題の掘り下げた内容

質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13113466903

物理学の「仕事」については、以下の認識で良いでしょうか？

・仕事の主体は力である。
・仕事の客体は物質である。
・力が仕事をした場合、対象物質のエネルギーが増える。
すなわち、仕事をするということは、対象物質のエネルギーを増やすということである。
・どんなに大きな力が加わっても、それと反対向きに同じ大きさの力が加わり、物質に加わる力が釣り合って物質が動かなければ、その物質のエネルギーは増えないので、力は仕事をしたことにはならない。
・等速円運動において、向心力は、物質に力を加えてはいるが、進行方向に対して垂直向きであるため、物質の進行方向を変えるだけで、運動エネルギーは増えないので、仕事をしていることにはならない。すなわち、向心力は仕事をしない。

回答

いい質問です。
■
力＊時間ーー＞力積、運動量
力＊距離ーー＞仕事、エネルギー

この違いに昔、悩みました。そもそも運動エネルギーと運動量は何が違うの？

■
そもそも仕事とは、下から上（ｈ）に物を上げたときに出てきたアイデアだと思います。このとき、重力と同じ力で上げれば、

Ｗ＝ｍｇｈ

もし、重力以上の力を出せば、上げたときその差分だけ運動エネルギーも出てきます。


■
力Ｆの方向にＬ動かすと仕事は正、
力Ｆの方向の逆に動くと仕事は負です。つまり仕事したのではなくされた！
Ｆ＊Ｌはベクトルの内積と考えるべきですね。

物体Ｍにかかる２つの力（Ａ，Ｂ）が逆向き（Ｆ，ーＦ）であれば、押している人は疲れますが、合力として考えると、その力は０です。もしそのまま静かに（ここが肝心）Ｌ動いたとすると、
ＡはＦＬの仕事、ＢはーＦＬの仕事をしたことになります。
つまり、Ａは仕事し、Ｂは仕事された。全体とすれば０です。つまり動いた物体Ｍのもらったエネルギーは０です。

もしＡ，Ｂの力が逆向きで異なっていて、｜Ｆａ｜＞｜Ｆｂ｜なら、
Ａは仕事Ｆａ＊Ｌをし、Ｂは仕事Ｆｂ＊Ｌをされ、Ｍは（Ｆａ－Ｆｂ）＊Ｌの運動エネルギーを得ることになります。
ＭとしてはＦａ－Ｆｂの力で動かされているにすぎないのですが、内情をみると、こんなやり取りがされているわけです。

Ｂは仕事されましたが、この意味は？－－＞わかりません。形式的なものですね。合力に対して仕事でも合成をかんがえるための計算上のとりきめにすぎないと思います。

ばねなどでは、ポテンシャルエネルギーを蓄えたことになりますね。

磁石の吸引力の概算

ライター：misao007009さん（最終更新日時:2017/5/18）投稿日：2016/10/30    
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　　　　　　　　概算方法をまとめた

■参考ー磁石引力計算プログラム

http://www.neomag.jp/mag_navi/gausscal/gauss_form_cylinder.php?ctype=3&magtype=1&gradename=3&Br=12600#gauscall_anc

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12166167587

磁力の異なる磁石どうしをくっつけると磁力はどうなりますか？ 

    磁石についての質問です。

ーー

下記のサイトでは、こうありました。
https://www.neomag.jp/support/qa_list.php?QADB_id=117&QADB_catid=4

 (以下、引用)。

 Ｑ：
ネオジム磁石では、鉄と磁石の吸着力に比べ同じ磁石と磁石の吸着力は２倍になりますか？

A：
 一般的に、磁石同士の吸着力の方が、２倍または２倍近く強くなります。 

(引用終わり)。

ーー

 もちろん、上記の説明は、その通りなのだと思うのですが、これは飽くまでも、同等の磁力を持つ磁石どうしの話ですよね。

★では、もし、磁力が「強い磁石」と「弱い磁石」とをくっ付ける場合は、どのようにして計算すればよいのでしょうか？ とりあえず、向き合う両方の磁石の断面積は同じだとして。

ーー

今、磁石のことをいろいろ調べているんですが、公式等を見付けることができなくて・・・。ご存知の方、是非、教えてください

■回答

永久磁石をＡ
 強磁性体をＢ
とします。
 Ｂは磁界に反応して磁化されます。

 ＡをＢに近づけると、ＢはＡの磁界で磁化されます。ＡのＮ側が近づくとＢのその側はＳになります。そこで引きあいます。この場合、Ｂの磁化が大きいほど吸引力がおおきいです。
ですから、
ーーーーー
A：
 一般的に、磁石同士の吸着力の方が、２倍または２倍近く強くなります。
ーーーーー
 は間違っています。磁石でもその磁化が小さい場合は、吸引力は小さいです。
 寸法や距離が同じ場合、吸引力は両者の磁化の積に比例します。
この吸引力は簡単に計算できません。

さっそく、ご回答ありがとうございます！

>Ａ(永久磁石)のＮ側が近づくとＢ(強磁性体)のその側はＳになります。そこで引きあいます。この場合、Ｂの磁化が大きいほど吸引力がおおきいです。

この点ですが、Bの磁化というのは、もしかして、Aの磁力線に沿った形でなされるのではないのでしょうか？ 素人の疑問なんですが。

だとすると、例えば、Bが平べったい鉄板なら、磁力線の流れからして、鉄板の中心から周辺に向かって放射線状にNーSとなるような気がします。もちろん、磁石に最も近い鉄板の中心部の、しかも表面部分は磁石の方向にNーSが向いていると思いますが。

▼◀︎◀︎◀︎▶︎▶︎▶︎▼←鉄板
▼◀︎◀︎▲▲▶︎▶︎▼

・・・◆◆・・・ ←磁石

↑三角形は、磁力線の向きです。

(その2)

> 寸法や距離が同じ場合、吸引力は両者の磁化の積に比例します。

そうですか！ 貴重な情報をありがとうございます。

ところで、この法則というか、公式みたいなものの「名前」をご存じありませんか？ ネットで何と検索すれば、そういう公式が説明されているサイトにたどり着くものでしょうか？ あとは自分で調べますので。

お手数ですが、もしご存じであれば、是非、教えてください！

ーーーーーーーーー
 この点ですが、Bの磁化というのは、もしかして、Aの磁力線に沿った形でなされるのではないのでしょうか？ 素人の疑問なんですが。
ーーーーーーーーー
 その通りです。

ーーーーーーーーー
 だとすると、例えば、Bが平べったい鉄板なら、磁力線の流れからして、鉄板の中心から周辺に向かって放射線状にNーSとなるような気がします。もちろん、磁石に最も近い鉄板の中心部の、しかも表面部分は磁石の方向にNーSが向いていると思いますが。
ーーーーーーーーー
 いやー、いい質問です！
 下図です。この場合も簡単に考えればＮとＳの引力で引きあいます。
 ＡのＮとＢの平均的Ｎは、
 ＡのＮとＢの平均的Ｓより遠いのです。

ーーーーーーーー
 ところで、この法則というか、公式みたいなものの「名前」をご存じありませんか？ ネットで何と検索すれば、そういう公式が説明されているサイトにたどり着くものでしょうか？ あとは自分で調べますので。
ーーーーーーーー
残念ながら、ありません。
 私も会社で長年この種の計算に関わってきましたが、有限要素法（ＦＥＭ）などで計算するしかありません。私の関係者はそうしていました。
これは長年やってきたので間違いありません。理論的なアプローチはありません。

ただ、Ａ，Ｂの隙間が小さい、形状が単純など、特殊な条件がある場合は、
 仮想変位法などあります。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/ieejias1987/116/1/116_1_94/_ar...
https://www.jstage.jst.go.jp/article/ieejias1987/116/1/116_1_94/_pd...

マクスウェル応力というものもあります
http://www.photon-cae.co.jp/technicalinfo/01/em07.html

とにかく難しいです。
 私の関係者はＦＥＭでマクスウェル応力を計算しモータートルクを出していました。

磁界分布をＦＥＭで計算し、それから空隙の磁界を読み取り、マクスウェル応力を計算しトルクを計算していました

詳しい回答をありがとうございます！ 専門でお仕事なさっていたのですね。しかし、やっぱり、難しいんだなー。へ〜です。

ーーーーー

>寸法や距離が同じ場合、吸引力は両者の磁化の積に比例します。

ーーーーー

 この点ですが、あえて計算するとすれば、例えば、「磁石A」と、「Aの10倍の磁力を持つ磁石B」とがあり、接する断面積は全く同じだとする場合、計算式としてはどういう感じになるのでしょうか？

 何度もすみません。ここが一番知りたいポイントなんで、よければ、今一度教えてください！

こういう感じですか？
 正確におねがいしますね 

　　　　　　　　　　　

正確にお願い！
 寸法関係も

遅れてすみません。

えーっと、特に、まだ、具体的な寸法までは考えていなかったんですが・・・。

 例えば、下記リンクの、「ネオジム磁石」と「フェライト磁石」ではいかがでしょうか？ 磁力の強さは10倍ではないですが。約5.3倍？

 寸法は、いずれも直径30mmの円柱形で、磁化方向の厚さは10mmですね。

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_comparison.php

ネオジムは磁化が１．５（Ｔ）
フェライトは０．４（Ｔ）
くらいですね。

はい、そうみたいです。それだけの数値で答えが出ますでしょうか？ 

(その2)

ところで、同時に、反発力についても考えているのですが、反発力の場合、磁力線の数からして、磁力が弱い方の、つまり磁力線の数が少ない方の磁石の磁力程度にしか反発力は生じないのでしょうか？

つまり、例えば、磁石(1)と磁石(2)の磁力線の数が、3:2の場合、互いに反発し合うのは、磁石(2)の2本に対して、磁石(1)も2本のみで、あとの1本は余る・・・のでは？？ということです。

よければ、こちらの方も別途、教えてください。お願いします！

2016-10-30 18:35:08

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_comparison.php
では、
ネオジム　１５（ｋｇ）
フェライト　１．５（ｋｇ）
だから、磁化比
 Ｂｎ／Ｂｆ＝√（１５／１．５）＝３．１６－－－（１）

http://www.masmaterial.co.jp/product/standard/neogyum.html
から、ネオジムの磁化Ｂｎは１．３（Ｔ）とすれば、（１）式から、
フェライトの磁化Ｂｆ＝１．３／３．１６＝０．４１（Ｔ）
https://product.tdk.com/info/ja/products/magnet/map/fb.html
ではＢｆ＝４．７５（Ｔ）
になっていますから、だいたい合っています。

■
この考えで行くと、
http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_comparison.php
での条件では、ネオジムとフェライトでは
１５＊１．３＊０．４１／（１．３＾２）＝４．７（ｋｇ）
という吸引力になるはずです。
■
反発力は吸引力と同じはずです。
 簡単に考えると、磁石の端面にのみある磁荷（磁化ではなく）同士のクーロン力と考えれば、単に正負が変わるだけで大きさは変わらないとおもいます。

　　　

参考に
https://www.nc-net.or.jp/knowledge/morilog/detail/38677/
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4017460.html

これかなぁー
http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/21820.html
ーーーーー
力は磁束密度 B と面積 S を用いて F=B^2 S/(2μ0) で与えられ， 隙間 d が小さい場合は一定になります．
ーーーーー
 これは、磁石間の隙間ｄが小さいとき成り立ちます。面積はＳです。
こういう考えです。
 隙間の磁気エネルギーＥは、磁束密度をＢとすると、
 Ｅ＝Ｓ＊ｄ（１／（２μ０））Ｂ＾２
 ｄを広げたい場合、吸引力Ｆで仕事が必要です。この仕事が隙間の磁気エネルギーであるから、これは吸引力Ｆのｄでの積分になります。
つまり、
 Ｆ＝ｄＥ／ｄｄ＝Ｓ＊（１／（２μ０））Ｂ＾２
となるということです。
μ０＝４π＊１０＾（－７）
πはパイ、３．１４です。
この式はｄが小さいとき成り立ちます。
 Ｂを求めなくてはなりません。

このＢを求めるのがむずかしいですね。
 均一ではないし・・・
Ｂが面積方向で均一ではない場合、
 Ｆ＝∫（隙間面）（１／（２μ０）＊Ｂ＾２＊ｄＳ
 Ｂの単位は（Ｔ）で寸法はメートル（ｍ）です。

 直径３０ｍｍ、厚さ１０ｍｍだとＢは均一ではない。
もっと長ければ均一になるのだが。

 磁化の電流モデルで考えます。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n297558
長さＬ、磁化Ｍの磁石は、同じ寸法のソレノイドコイルに側面電流Ｉｍ、
 Ｉｍ＝Ｍ＊Ｌ
を流したものと等価です。
すると、この場合、磁石をくっつけたときの長さをＬとし、Ｌ＝０．０１＊２として、
 Ｉｍ＝０．０２＊Ｍ
ネオジムでは、Ｍ＝１．３です。
このソレノイドコイルが十分に長いとき、
 Ｂ＝Ｍ
になります。短いと小さく、不均一になります。
 今回の場合はかなり短いから、この近似は使えませんね。

繰り返します。ソレノイドコイルを考えます。
 長さ０．０２（ｍ）、
 直径０．０３（ｍ）に
電流Ｉｍ＝０．０２＊Ｍ
 Ｍは磁化（テスラ、ネオジムでは１．３）
を流したときの中央のＢがわかればいいのです。

 調べてみます

こんなのがありました。
むずかしいですよ

 ソレノイドの作る磁界
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/solenoid.htm
これでは、有限長のものを考えていますが、中心軸上のＢのみです。
このＢうを使って近似してもいいですね

ありがとうございます！ でも、ちょーっと、消化するのに時間がかかりそう・・・。

 今日はちょっと時間がないので、明日以降、また取り組んでみることにしますね。

しばらくお待ちを・・・(汗)。

失礼！
 間違いがありました。
 計算はＭＫＳＡ単位系でやります。
 上で、磁石の飽和磁束密度Ｂｒ（ネオジムで１．３（Ｔ））と磁化Ｍの関係を間違えました。
 Ｍ＝Ｂｒ／μ０
です。従って、Ｂｒ＝１．３（Ｔ）の磁石（３０＊１０を２個くっつけたとき）をソレノイドで再現すると、電流Ｉｍは、
 Ｉｍ＝Ｍ＊Ｌ＝（Ｂｒ／μ０）＊０．０２
 ＝（１．３／（４π＊１０＾（－７））＊０．０２
 ＝２０６９０（Ａ）
ということになります。磁石を電流で再現するのは大変です。

概算でいいんだったらですが、
 磁石をくっつけたときの空隙の磁束密度Ｂがわかればいいのです。磁石の長さが無限である時、
 Ｂ＝Ｂｒ（ネオジムで１．３（Ｔ））
このときの吸引力Ｆは、
 Ｆ＝Ｓ（１／（２μ０）＊Ｂ＾２
 Ｓ＝π＊０．０１５＾２＝７．０７Ｅ－４
だから、
 Ｆ＝４７５（Ｎ）＝４８．５（ｋｇｗ）
ということです。長さが短くなるとＢはこれ以下ですから、この数分の１であるとおもいます。おおよその概算ができますよ。

単位はＭＫＳＡ単位系でやってください。
 ｃｍとかｍｍはだめです。ｍに換算してください。
 磁束密度はテスラです。力はニュートン（Ｎ）です。
 Ｎから重力単位への変換は、９．８で割ってください。

上の計算で、Ｂが磁石が短いために１／５くらいになっているとすれば、１０ｋｇｗになります。
これは実際に近いと思います。

 ＞磁力の異なる磁石どうしをくっつけると磁力はどうなりますか？
ですが、標準としてＢｒ＝１．３（Ｔ）の結果から、Ａ，ＢのＢｒの積に比例するとして概算できます。
 Ａ．ＢのＢｒが１．３（Ｔ）のとき、吸引力は１０ｋｇｗです。
 Ａ，ＢのＢｒがＢｒａ、Ｂｒｂの時は
Ｆ＝１０＊Ｂｒａ＊Ｂｒｂ／１．３＾２（ｋｇｗ）
と概算できます。

■参考

電磁気学13磁化の強さが8π×10⁻²Wb/ｍ²のＮ,S両極が向かい合... - Yahoo!知恵袋

電磁気学 13

磁化の強さが 8π×10⁻² Wb/ｍ² のＮ,S両極が向かい合っている。極の面積を４cm²、両極の間隔を５ｍｍとすると

(1) 両者の間に働く力、および
(2) 両極の間の磁場のエネルギーはいくらになるか。
ただし極面の端における乱れを無視する。
μ₀=4π×10⁻⁷ [kgｍC⁻²]

【解答】(1) 両極間に作用する力：
F＝M×(極の面積)×H₀=3.2π [N]

F=MSH₀ という公式？の導出法、考え方
また、このＨはどのように求めるのでしょうか？

(2) 両極の間の磁場のエネルギー：
W=(μ₀H²/2)×(すき間の体積)＝16π×10⁻³ [J]

(磁場ネルギー密度)×(すき間の体積)=Ｗ を使っていると思います。

ところで逆算すると
(すき間の体積)＝(4×10⁻⁴)×(5×10⁻³)=2×10⁻⁶[ｍ³]

H=2×10⁵ のようですが、このＨはどのように求めるのでしょうか？

お分かりになる方、解説をお願い致します

解答

コンデンサでの

W＝SLε０Ｅ＾２／２
E＝ｑ／ε０

から、
Ｗ＝SLｑ＾２／（２ε０）＝SLｑ＾２／（２ε０）

から類推で、
H0＝M／μ０

W＝SLμ０H0^2／２
F＝Sμ０H0^2／２
ここで、μ０Ho＝Mだから
F＝SMH0／２＜ーーーーー答え

■参考
https://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2023/03/17/014733?_ga=2.177956197.1107598328.1678899744-714387351.1668997770
では、
Ｆ＝ｄＥ／ｄｄ＝Ｓ＊（１／（２μ０））Ｂ＾２

電験 球形誘電体内の電界

ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/3/29）投稿日：2015/8/9

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   電験　球形誘電体内の電界

球形の誘電体を均一電界の中に置いたときの、内部電界の問題である。均一になる、というのがみそである。

■質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13148422363/a366068956?open_reply=1

磁気学の問題でわからないことがあるのでどなたか教えていただきたいです。
以下問題文

半径aの球状誘電体が、真空中で水平軸の方向に一様な電場強さE0 の中に置かれると、内部には分極が生じる。
誘電体に生じる分極は、一様な体積密度（-ρ) で電荷が満たされた球と、同じくρで満たされた球がδ(<<a)だけずれて重ね合わせられた状態と等価である．
この時誘電体の表面に発生する分極強さは|P|=ρδ である．真空中の誘電率をε0 とするとき以下の問いに答えよ。

誘電体内の点Aにおいて、これらの電荷によって作られる電界強さE1の大きさを求めよ。

この問題についてなのですが、誘導に従って、二つの球に関してガウスから電界を求め重ねあわせることによりE1を求めると、E1=|P|/3ε0 となりました。

しかし誘導を無視して、以下のように解くと解がE1＝P/ε0 となり合わなくなってしまいました。

誘電体内は場所に寄らず電束一定であり、左向きに一様な電界E1ができる．
これより

ε0・E0=ε0(E0-E1)+P

これをE1について解くと

E1＝P/ε0

答えとしては誘導に従った分 E1=|P|/3ε0 が正しい気がするのですが、だとすると下の解放がだめな理由がわかりません。

理由がわかる人おりましたら教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

　　　　　　　

■回答

chie2012janさんの回答

O1 による電場は ガウスの定理より、A → O1 の向きに
E = {(1/(4πεo)}ρ(4π/3)r1^3 / r1^2 = ρ r1/(3εo).
同様にして，O2 による電場は O2 → A の向きに
E' = ρ r2/(3εo).

θ = ∠A O1 O2，
θ' = π - ∠A O2 O1
とおくと，合成された電場の x 成分は
E1x = -E cosθ + E'cosθ'
= -{ρ/(3εo)}(r1 cosθ - r2 cosθ')
= -{ρ/(3εo)}δ.

同じく y 成分は
E1y = -E sinθ + E' sinθ'
= -{ρ/(3εo)}(r1 sinθ - r2 sinθ')
= 0.

よって求める電場は x 方向の定ベクトルで，大きさは
E1 = ρδ/(3εo)．

■補足

上記で

ーーーーー
O1 による電場は A → O1 の向きに
E = {(1/(4πεo)}ρ(4π/3)r1^3 / r1^2 = ρ r1/(3εo).
ーーーーー

を証明する。
Ｑ１＝ρ(4π/3)r1^3 はｒ１内のー電荷
ガウス定理により、
４πｒ１＾２Ｅ＝Ｑ１／ε０
Ｅ＝Ｑ１／（４πε０ｒ１＾２）
＝ρ(4π/3)r1^3 ／（４πε０ｒ１＾２）
＝ρr1 ／（３ε０）
ということですな！

つまり、

E1=ρδ/（3ε0）＝|P|/（3ε0）
である。これは球内のどこでも同じ。

つまり、球内でＰが一定の場合、Ｐによる電界は一定になる、つまり、これは均一な電界Ｅ０によって、球内では均一なＰが誘発されることになる。

ある点の電界Ｅは、外部電界、真電荷、分極による。また、その点のＰによるその点の電界はーＰ／ε０である。つまり、Ｄ／ε０はその点のＥから、その点のＰによる電界ーＰ／ε０をを除いたものであることになる。

であるから、質問のようにこの式からＥを出すことはできない。

■参考

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14151891684?fr=chie_my_notice_ba

から、

■質問

電磁気学の問題です。

１）、半径Ｒで誘電率ε（＞ε0；真空の誘電率）の誘電体球内に、真電荷ｑを一様な密度で分布させたとき、誘電体球内（ｒ＜Ｒ）の電場および分極の空間分布を求めよ。
２）、１）の誘電体球（ただし真電荷はもたないものとする）を、＋ｚ方向（休座標系ではθ＝０の方向）の一様の電場がある。無限に広い真空中においたとき、誘電体球内の電場は分子の分極により弱まり、
Ｅｉｎ＝[3ε0/(ε+2ε0)]E0の一様電場となる。
この事実を用いて誘電体内の分極ＰをE0、ε、ε0をつかって表せ。
さらに求めた分極Ｐから、束縛電荷の分極により誘電体内部（ｒ＜Ｒ）に誘起される堆積電荷密度ρｂおよび誘電体表面（ｒ＝Ｒ）に誘起される表面電荷密度σｂの空間分布を求めよ。

よろしくお願いします。

■回答

１）

ーーーー

半径Ｒで誘電率ε（＞ε0；真空の誘電率）の誘電体球内に、真電荷ｑを一様な密度で分布させたとき、誘電体球内（ｒ＜Ｒ）の電場および分極の空間分布を求めよ

ーーーー

ガウス定理より
半径ｒ（＜Ｒ）の球を考えると対称性より、その面でのｒ方向の電界Ｅｒは、
Ｅｒ＊４πｒ＾２＝ｑ＊（４／３）πｒ＾３／ε
Ｅｒ＝ｑ＊（４／３）πｒ＾３／（４πｒ＾２＊ε）
＝ｑ＊ｒ／（３＊ε）－－（１）＜－－答え

εＥ＝ε０Ｅ＋Ｐ
Ｐより、
Ｐ＝Ｅ（εーε０）－－（２）＜－－答え

２）
ーーーーーー
Ｅｉｎ＝[3ε0/(ε+2ε0)]E0の一様電場となる。
この事実を用いて誘電体内の分極ＰをE0、ε、ε0をつかって表せ。
ーーーーーー
（２）より、
Ｐ＝Ｅｉｎ（εーε０）
＝[3ε0/(ε+2ε0)]E0（εーε０）ーー（３）＜－－答え

ーーーーーー
さらに求めた分極Ｐから、束縛電荷の分極により誘電体内部（ｒ＜Ｒ）に誘起される体積電荷密度ρｂおよび誘電体表面（ｒ＝Ｒ）に誘起される表面電荷密度σｂの空間分布を求めよ。
ーーーーーー
体積電荷密度ρｂ＝－ｄｉｖＰ＝０（Ｐは均一だから）＜－－答え
表面電荷密度も－ｄｉｖＰ
であるが、
表面の各点ではΘにしか依存しない。各点でｒ方向をｘ軸とする局所座標を考えると、下図から、
ｄＰ／ｄｙ、ｄＰ／ｄｚ＝０
Ｐｒが仮に⊿ｘで変化しているとまず考えれば、
－ｄｉｖＰ
＝－ｄＰ／ｄｘ
＝ーＰｒ／⊿ｘ
⊿ｘ－＞０
の極限で、
表面電荷密度σｂ
＝－Ｐｒ
＝ーＰｃｏｓθ
＝ー[3ε0/(ε+2ε0)]E0（εーε０）ｃｏｓθ

　　　　　　　

■参考

電磁気学11 - １つは正の磁気量、他は負の磁気量だけが内部に一様に... - Yahoo!知恵袋

電磁気学 11 １つは正の磁気量、他は負の磁気量だけが内部に一様に体積分布した、磁気量も大きさも等しい仮想的な２つの球を考える。その中心をたがいに無限に近づけると両方の球の重なる内部の磁気はうち消し合うが、表面にだけ磁気量が残る。この状態は、一様に磁化した球を表わすことになる。次に、この考えから、一様に磁化した球にもとづく磁場の強さを求めよ。ただし球の半径をａ、磁化の強さをＭとする。 【解答】球内の磁場の強さは大きさＭ/3μ₀、方向Ｍと反対

お分かりになる方、解説をお願い致します

解答

P-ー＞M
置き換えでおなじです。

https://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2023/03/16/212811?_ga=2.148579319.1107598328.1678899744-714387351.1668997770

■参考

電磁気学12赤道における地磁気の水平分力は5.0×10²/4πA/mである。... - Yahoo!知恵袋

電磁気学12 赤道における地磁気の水平分力は 5.0×10²/4π A/m である。地球を一様に磁化した球とみなして、その磁化の強さを計算せよ。 (解答) M=3μ₀H=1.5×10⁻⁴ Wb/m² お分かりになる方、解説をお願い致します

解答

赤道での外部磁界Hは、境界条件から、内部磁化Mとすれば、
μ０H＝M

https://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2023/03/16/212811?_ga=2.145253620.1107598328.1678899744-714387351.1668997770
の結果
E1=ρδ/（3ε0）＝|P|/（3ε0）
から
H＝|M|/（3μ0）
よって、
M＝３μ０H

訂正

赤道では
Hｅｘ＝Ｈｉｎ
https://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2023/03/16/212811?_ga=2.145253620.1107598328.1678899744-714387351.1668997770
の結果
E1=ρδ/（3ε0）＝|P|/（3ε0）
からの類推から、
から内部Hin
Hin＝|M|/（3μ0）
よって、
M＝３μ０Hin
よって
M＝３μ０Hｅｘ
質問者からのお礼コメント
おかげさまで理解できました。

ありがとうございます。

お礼日時：3/17 19:53

オペアンプを使った正帰還型LPF

ライター：miranda17jpさん（最終更新日時:2014/3/1）投稿日：2014/2/22

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以下の図１の回路の解析をする。
 

　　　　　　　　　　　正帰還型LPF・三角は、ゲイン+Kの非反転アンプである。　　　　　　　　　　　　　
     

                                        　【図１】

図中、三角は、ゲイン+Kの非反転型アンプである。
実際にオペアンプを用いて図１を書き換えると、例として図２になる。
図２では、簡単のため、ボルテージフォロワとした。
明らかに、K = 1である。
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　正帰還型LPFの例　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図２】

■定性的に見てみる
図１を見ると、ローパスフィルタが２つ見える。
(1)R2、C2によるローパスフィルタ
(2)R1、C1によるローパスフィルタ
である。
また、図２により、正帰還側がフィルタで、負帰還側でゲインKを調整していると思われる。
(1)R2、C2によるローパスフィルタ
この部分は、R2とC2で、ローパスフィルタとなり、C2の電圧がVoになるから、周波数の増加に伴いVoが減ることがわかる。
(2)R2、C2によるローパスフィルタ
OPAMPの（－）端子の抵抗がＮＦによって十分高くなっているので、R2とC2の電流が等しい（（－）端子への電流が無視できる）。
よって、周波数の増加に伴い、V1の電位が下がってくることが分かる。
C2の電圧がVoに決まり、Vo - V1は、R2の電圧であるとともに、C1の電圧でもあるので、C1の電圧も周波数の増加とともに減ることが分かる。
よって、R2、C2によっても、Voutが落ちると予測できる。

■伝達関数を導く
R1を流れる電流をI1
R2、C2を流れる電流をI2
C1を流れる電流をIc
と置いて、
Vi - R1(I2 + Ic) = V1・・・・①
V1 - R2*I2 = Vo・・・・②
(1/sC2)*I2 = Vo・・・・③
V1 - (1/sC1)*Ic = Vo・・・・④
③ I2 = Vo*sC2
② V1 = Vo + R2*I2 = Vo + Vo*sC2R2
④ Ic = (V1 - Vo)*sC1 = Vo*s^2*C2R2C1

① Vi -R1(Vo*sC2 +  Vo*s^2*C2R2C1) = Vo + Vo*sC2R2
Vi = Vo + Vo*sC2R2 + Vo*sC2R1 + Vo*s^2*C1C2R1R2
    = Vo(1 + sC2R2 + sC2R1 + s^2*C1C2R1R2)
Vo/Vi = 1/(s^2*C1C2R1R2 + sC2(R1 + R2) + 1)
         = (1/C1C2R1R2)/(s^2 + s(1/C1R2 + 1/C1R1) + 1/C1C2R1R2)
Vo/Vi = (1/C1C2R1R2)/(s^2 + s(1/C1R2 + 1/C1R1) + 1/C1C2R1R2) ・・・⑤

⑤より、DCゲインが１の２次のローパスフィルタであることが読み取れる。
この場合も、カットオフ周波数は共振周波数に一致すると考えられるので、
f = 1/(2π√C1C2R1R2)
分母を微分すると、
2s + (1/C1R2 + 1/C1R1)
より、
減衰比 = (1/C1R2 + 1/C1R1)/2ω0
である。

■回路シミュレータによる実験
上記のフィルタの動作を、実際に回路シミュレータ(TINA TI)を使って調べて見た。
オペアンプには、以下のノートで解析をしたLM324を用いた。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n233407
このノートにある ように、LM324のFuは、0.9MHz付近と考えられる。
まず、以下の図３の回路で、実際にLM324のFuを計測した。
 　　　

　　　　　　　　　　　　　　　LM324のFuを調べるための回路
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図３－１】
すると、確かに、LM324のFuは、以下の図３－２に示したとおり、1MHzになっていることが確かめられた。
 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　LM324のFu測定実験結果
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図３－２】

では、実際に、正帰還型LPFの実験をしてみる。
実験回路は、以下の図４である。
       

                            　　　正帰還型LPFの実験回路
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図４－１】
カットオフ周波数は、
f = 1000となるように設定した。
C1 = 10μF
C2 = 0.1μF

R1 = R2 = 160Ω
とした。
結果は以下の図４－１になった。
1MHzを超えると、ゲインが変化しなくなる。
 

　　　　　　　　　　　　　　LM324を用いた正帰還型LPFのF特
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図４－１】

図４－１では、10KHzを超えてくると、ゲインが上がり出す。
これがなぜだか不明である。
以下の図５は、オペアンプの入力端子の電圧を計測したものである。
これをみると、ちょうど10KHz越えたあたりでバーチャルショートがうまく効かなくなっている。
この現象は、オペアンプをLM324以外のものに変えても、おなじだった。
 　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図５】
Ｒ１＝Ｒ２＝１．６ｋ
Ｃ１＝１μ
Ｃ2＝０．０１μ
にしても、図６だった。
   

                                        【図６】
クロスオーバー歪を疑い、図７のように、負荷RLを-Vccに接続してみたが、結果は変わらなかった。
 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　負荷RLを-Vccに接続
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図７】

C1とC2の影響を調べるために、図８と図９のように、Cの容量を決めて実験した。
どうも、バーチャルショートを崩しているのは、C2のようである。
図８では、R1 = R2 = 160Ω、C1 = 10μF 、C2 = 100pF

図９では、R1 = R2 = 160Ω、C1 = 100pF 、C2 = 10μF
 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図８】
 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図９】

この問題は、別途、別の知恵ノートで調べることとしました。

■申し訳ありません、下記はよくないことが判明しました。
上記からすると、このフィルタは、以下図１０のような塩梅でパラメータを決めるのが良いようである。
２次フィルタは、40dB/dec（周波数１０倍で４０ｄＢ落ちる、１０倍で１／１００になる）なので、これならば使える。
 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【図１０】

■訂正
以下の知恵ノートで解析した結果、図１０では良くないことが判明した。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n177470
図１０では、抵抗値が大きすぎ、オフセット電圧が大きくなってしまうからである。
R2C2を小さく、R1C1を大きくするのが良い。
バイポーラ型オペアンプでは、抵抗値は30k程度までに抑えるべきである。
例えば、
Http://kie.nu/1HFY
のようにする。

Z変換の不思議な話題

■伝達関数の定義

インパルス応答ｈ（ｉ）のシステムに数列ｕ（ｉ）が入った場合、応答ｖ（ｉ）のｚ変換V（ｚ）は、U（ｚ）をｕ（ｉ）のｚ変換として、

　　V（ｚ）

　＝ｕ（０）（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）

　＋ｕ（１）ｚ（（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）

　＋ｕ（２）ｚ＾２（（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）

　＋・・・

これは、次の簡潔な積になってしまう！

　＝（u（０）＋ｕ（１）ｚ＋ｕ（２）ｚ＾２＋・・・）

　　　　　　　＊（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）

　＝U（ｚ）H（ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ーーー（１）

H（ｚ）はｈ（ｉ）のｚ変換であり、伝達関数である。

一方、別な考察から、Ｖ／Ｕは定義される。これをＨ１とすれば、Ｈと等しい。なぜかと言えば、定義から、

Ｈ＝Ｈ１

だからだ。だからＨ１のシステムのインパルス応答はＨ１なのである。なぜかといえば、インパルスのｚ変換は１であり、それによるＨ１の応答は、上にあるように、

１＊Ｈ１＝Ｈ１

であるからだ。

■上から得られる不思議な関係

伝達関数　H＝１／（１＋ｚ）

をかんがえる。これは、次のように展開される。

　　　　＝１／（１＋ｚ）＝１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋・・・　ーー（２）

【証明】

　両辺に（１＋ｚ）をかけると、

　　　　１＝１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋ｚ＾４・・・

　　　　　　　＋ｚーｚ＾２＋ｚ＾３ーｚ＾４＋・・・

　　　　　＝１ーｚ＾ｎーー＞１

で｜ｚ｜＜１でｎ－＞無限で成り立つ。（２）式はテーラー展開である。

ここからが面白い！

そこで、別の見方で、

伝達関数、

H＝１／（１＋ｚ）

を考え、

V／U＝１／（１＋ｚ）

でインパルス応答を考える。Uをインパルスのｚ変換とする。

コれは、

V（１＋ｚ）＝Ｕ

ｚＶ＋Ｖ＝Ｕ

となり、これは、

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　左辺　　　右辺

ｚ＾０項：　　　　　　　　　　　　ｖ（０）＋　　＝　　ｕ（０）

ｚ＾１項：　　ｚｖ（０）＋　　　ｚｖ（１）＋　　　　　　　ｚｕ（１）

ｚ＾２項：　ｚ＾２ｖ（１）＋　ｚ＾２ｖ（２）＋　　　　ｚ＾２ｕ（２）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

ｚ＾ｉ項：　ｚ＾ｉｖ（ｉー１）＋ｚ＾ｉｖ（ｉ）＋　　　ｚ＾ｉｕ（ｉ）　

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

となり、両辺でｚの同じ次数の係数が等しくならなければならないことから、漸化式がでてきて、これからｖ（ｉ）は、

１，ー１，１，ー１，・・・

であることになり、ｖ（ｉ）をｚ変換すれば、

１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋・・・

となり、Hの展開式（２）式と一致する。

つまり、分数式のテーラー展開は、インパルス応答の計算でわかることになる。

π型回路のYとSパラメータの関係

強磁性体の中の空洞の磁束密度

ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/4/16）投稿日：2016/4/12

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電磁気学で最も難しい問題である！

■関連質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10157744670

関連質問②

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13157939763

　　添付図のように一様な磁石の中の微小領域をくり抜いて中に微小な方位磁石を入れたとして、方位磁石のN極は左右どちらを向きますか？

くり抜いた領域の上下前後直近の微小磁石は微小方位磁石のN極を右へ、左右直近の微小磁石は微小方位磁石のN極を左へ引き寄せようとすると思うのですが、それを合計したとき微小方位磁石がどちら向きに力を受けるのか、言えるでしょうか？それとも磁石の形(平たいか、細長いか、等)に依存して向きが変わるでしょうか？

http://hr-inoue.net/zscience/topics/magnet/magnet.html

　　リンク先図4(b)にあるように、磁力線が磁石の中でもN極からS極へ向かうなら、微小方位磁石のN極は右を向く筈だと思いますが、それは磁石の形にもよるのではないかという気がします。  

■回答

すごくいい疑問
http://hr-inoue.net/zscience/topics/magnet/magnet.html
はおもしろい！

　　永久磁石の場合、内部をくりぬいて磁場（Ｂ）を測った場合その磁場Ｂａは、
Ｂａ＝μ０Ｈ＝Ｂ－μ０＊Ｍ
となります。ここで、
Ｂは周囲のＭによる磁束密度、Ｍは磁化された磁石の磁化です。
Ｂ＜μ０＊Ｍ
だから、
Ｂａ＜０
です。つまり、磁化とは逆です。これが反磁場です。
　　このＢａは形状でかわります。磁化方向に長い場合小さくなり、幅が広い場合大きくなります。だから、薄い磁石は減磁しやすいのです。

ーーーーーーーーーー
磁石の中で磁束と磁力線が逆向き、BとHが逆向き、というところが難解です。
ーーーーーーーーーー
　　Ｂは実際の磁場です。 磁石がうすっぺらであれば、真ん中のＢは小さくなります。 磁石が細長ければ、Ｂ＝μ０＊Ｍで最高値になります。

どうしてか？というと・・・
一様にＭに磁化している磁石を考えます。
　　ある点での周囲のＭからのＢｍは、その点ではＭとは逆向きになっているからです。うすっぺらくなればなるほど、そうなります。これが反磁場であり、テスラの単位では、
　　　Ｂｍ＝Ｂ－μ０＊Ｍ
です。ここで周囲ＭからのＢｍは、
無限長の細長では極限でーー＞０
無限の薄っぺらででは極限ではーー＞ーμ０＊Ｍ
これは、定性的に出てきます。
Ｂｍは反磁束密度です。
　　　Ｈ≜Ｂｍ／μ０
は反磁界です。

■
　　外部からの磁束密度によってＭが生じる場合でも、Ｂｍという反磁束密度がＭによって生じます。この場合は外部磁場をＢ０として、
　　　Ｂ＝μ０＊Ｈ＋μ０＊Ｍ
で、
　　　μ０＊Ｈ＝Ｂｍ＋Ｂ０
ですね。これは外部磁場だからです。
　　　Ｂ０＞０
の場合、
　　　Ｂｍ＜０
ですが、
　　　Ｂ０＞Ｂｍ
であるので、
　　　Ｈ＞０
となります。　　

　　つまり、ＢとＨの方向が逆であるのは、外部磁場のないところに置かれた永久磁石に限られます。

■返信

　　有難うございます。
　　永久磁石のみが存在して他に外部磁場が無い場合だけに絞って考えたとして、 永久磁石の磁化Mは周囲の磁場に依らない固定値なのでしょうか？
　　周囲のMによる減磁は、(軟磁性体の磁化が周囲の磁場によって変化するのと同様に)その場所の硬磁性体の磁化M自体を減じている訳ではないのでしょうか？

■回答

＞永久磁石の磁化Mは周囲の磁場に依らない固定値なのでしょうか？
固定として考えています。しかもＭは均一だとしています。

ーーーーーーーーー
　　周囲のMによる減磁は、(軟磁性体の磁化が周囲の磁場によって変化するのと同様に)その場所の硬磁性体の磁化M自体を減じている訳ではないのでしょうか？
ーーーーーーーーー
　　どの場所のＭも不変としています。通常そう考えます。つまり減磁がないとして考えます。この条件で考えています。軟磁性体では、Ｍは外部磁場に比例する、と簡単化しますが、この場合はＭは不動のものとして簡単化します。この条件で上のことが言えます。

　　それと、空洞の形でもＢｍは違います。Ｍのｈ方向に細長いと、Ｂｍ（＝μ０Ｈ）は負で大きい。うすっぺらだと負で小さい。
また、位置によっても違います。

　　くりぬいた部分のＢはＭと逆向きですが、全体が十分細長いと大きさは＝０に収束します。うすっぺたいと大きくなります。

　　全体形状と空洞形状に依存します。

■返信

度々ありがとうございます。
永久磁石のみが存在して他に外部磁場が無い場合だけに絞って考えたとして、

最初にいただいた式：
(くり抜いた微小領域の磁場Ba)
=(周囲のMによる磁場B)-μ0M

について、
μ0Mを引くのは何故ですか？

くり抜いた微小領域の磁場は、全て周囲のMによるのでは無いのでしょうか？

■回答

　　そのとおりです。ただし、
　　　Ｂｍ＝Ｂ－μ０Ｍ
では空洞は無限小です。

　　空洞の場合、その点のＢｍは、
　　　Ｂｍ＝Ｂ
です。同時にＨ＝Ｂｍ／μ０であり、これは磁界であり、この場合、外部からの磁場はありませんから反磁界でもあります。
しかし、空洞の形により、大きさにより異なります。
この場合、いかなる場合でも、
　　　Ｂｍ＜０（Ｍの方向を正とした場合）
です。

■返信

ありがとうございます。
少なくとも空洞が磁場と直交する向きに長いときは、空洞内のBの向きとMの向きは一致しないでしょうか？

■回答

　　この場合、取り去ったＭのみによる磁場は最高値μ０＊Ｍに比べてちいさくなります。無限に薄いときーー＞０。
よって、
　　　空洞のＢ≒空洞ないときのＢ

ですから、
＞空洞内のBの向きとMの向きは一致しないでしょうか？
一致します。

■
　　もし空洞がＭ方向にながければ、 空洞内のBの向きとMの向きは逆向きとなります。

　　極端な例では、下図になり、
　　　ａはＭとＢは同方向、
　　　ｂではＭとＢは逆方向
になることは容易にわかります。

■返信

ありがとうございます。いただいた図のような2条件は、この質問をしようと考えたきっかけでした。
そうすると、最初の質問に戻って、磁石の中の微小領域をくり抜いてそこに微小方位磁石を置いたとき、その方位磁石が図の右を向くのか左を向くのかは何とも言えない、ということになりませんでしょうか。

■回答

　　そうなります。 切り取った磁化の形によります。 下図で、空隙部の磁場Ｂａは、
　　　Ｂａ＝Ａの値ーＣでの値
です。 ＣでのＣ内の磁場は薄くなると小さくなり、長くなるとμ０＊Ｍに近づきます。
　　Ａが十分に細長くないとすれば、Ａでの空隙部分の磁場は、μ０＊Ｍより小さくなります。そこで、
　　　空隙が薄いとき、空隙内の磁場は＞０（Ｍ方向）
　　　空隙が長いとき、空隙内の磁場は＜０
になります。 

■返信

有難うございました。どちらも最初の疑問は解決しました。
=======

今までMacroscopicのマクスウエルの方程式は電磁気をややこしくしている厄介者で、DやHはわざわざ電磁気をわかり難くしている厄介な物理量だと思っておりましたが、
今回、むしろ、電場と磁場の対応関係は、
Ｂ＝μ０Ｈ＋μ０Ｍ
Ｄ＝ε０Ｅ＋Ｐ
と考えた方が素直なのではないか、と感じました。

真電荷が無い場合(電場が自発分極のみに依る場合)を基準に考えれば、BとDが同じ形になります。
静電場の方はたまたま真電荷が存在するからEが主役に取って代わっている、と考えることもできると思います。
=======

言葉の問題もあってまだちゃんと読んでいませんが、こちらのリンク先の議論も面白そうです。
https://www.physicsforums.com/threads/why-div-b-0-but-div-h-not-nec...

■回答

　　ＢＤ対応ですね・・・
　　そうすると、式は対称になりますが、Ｄの意味が・・・
そもそも、実際の磁場、電場にたいするＭとＰの効果が対称でないからよくないんですよね。

　　Ｍはいいんですが、分極Ｐを巨視的微小近似することが難しいですね。そもそも連続てきな現象ではありませんから。さら分極量も有限だとｄｉｖＰの計算の時、おかしなことになり（微小領域を分極長さが突き抜ける）ます。

https://www.physicsforums.com/threads/why-div-b-0-but-div-h-not-nec...

ｄｉｖＨ＝－ｄｉｖＭ
ですね。
（１）ｄｉｖＭはいつ≠０か？
（２）反磁性と常磁性でＭとＢｅｘｔが平行なのはホント？反、常磁性で線形性と等方性でなければいけない？
（３）強磁性体では、外部磁場ですべての磁区がそろうまでＭはＢｅｘｔに平行にならないように見える。
（４）非等方性の例は？

■返信

ありがとうございました。解決しました。

　

物質中のＭＡＸＷＥＬＬ方程式（巨視的）

http://www.hikari.scphys.kyoto-u.ac.jp/jp/index.php?plugin=attach&refer=電磁気学4 2012講義ノート&openfile=2nd_separate.pdf