■伝達関数の定義
インパルス応答ｈ（ｉ）のシステムに数列ｕ（ｉ）が入った場合、応答ｖ（ｉ）のｚ変換V（ｚ）は、U（ｚ）をｕ（ｉ）のｚ変換として、
V（ｚ）
＝ｕ（０）（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）
＋ｕ（１）ｚ（（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）
＋ｕ（２）ｚ＾２（（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）
＋・・・
これは、次の簡潔な積になってしまう！
＝（u（０）＋ｕ（１）ｚ＋ｕ（２）ｚ＾２＋・・・）
＊（ｈ（０）＋ｈ（１）ｚ＋ｈ（２）ｚ＾２＋・・・）
＝U（ｚ）H（ｚ） ーーー（１）
H（ｚ）はｈ（ｉ）のｚ変換であり、伝達関数である。
一方、別な考察から、Ｖ／Ｕは定義される。これをＨ１とすれば、Ｈと等しい。なぜかと言えば、定義から、
Ｈ＝Ｈ１
だからだ。だからＨ１のシステムのインパルス応答はＨ１なのである。なぜかといえば、インパルスのｚ変換は１であり、それによるＨ１の応答は、上にあるように、
１＊Ｈ１＝Ｈ１
であるからだ。
■上から得られる不思議な関係
伝達関数 H＝１／（１＋ｚ）
をかんがえる。これは、次のように展開される。
＝１／（１＋ｚ）＝１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋・・・ ーー（２）
【証明】
両辺に（１＋ｚ）をかけると、
１＝１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋ｚ＾４・・・
＋ｚーｚ＾２＋ｚ＾３ーｚ＾４＋・・・
＝１ーｚ＾ｎーー＞１
で｜ｚ｜＜１でｎ－＞無限で成り立つ。（２）式はテーラー展開である。
ここからが面白い！
そこで、別の見方で、
伝達関数、
H＝１／（１＋ｚ）
を考え、
V／U＝１／（１＋ｚ）
でインパルス応答を考える。Uをインパルスのｚ変換とする。
コれは、
V（１＋ｚ）＝Ｕ
ｚＶ＋Ｖ＝Ｕ
となり、これは、
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左辺 右辺
ｚ＾０項： ｖ（０）＋ ＝ ｕ（０）
ｚ＾１項： ｚｖ（０）＋ ｚｖ（１）＋ ｚｕ（１）
ｚ＾２項： ｚ＾２ｖ（１）＋ ｚ＾２ｖ（２）＋ ｚ＾２ｕ（２）
・
・
・
ｚ＾ｉ項： ｚ＾ｉｖ（ｉー１）＋ｚ＾ｉｖ（ｉ）＋ ｚ＾ｉｕ（ｉ）
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となり、両辺でｚの同じ次数の係数が等しくならなければならないことから、漸化式がでてきて、これからｖ（ｉ）は、
１，ー１，１，ー１，・・・
であることになり、ｖ（ｉ）をｚ変換すれば、
１ーｚ＋ｚ＾２ーｚ＾３＋・・・
となり、Hの展開式（２）式と一致する。
つまり、分数式のテーラー展開は、インパルス応答の計算でわかることになる。
