１２音の起源について - SonofSamlawのブログ

まず和音について、
■周波数１と、３倍、もしくは３／２倍、もしくは３／４倍の和音はいいそうです。ピタゴラスが起源らしい。

■ピタゴラス音律 - Wikipedia

ピタゴラス音律（ピタゴラスおんりつ）は、音階の全ての音と音程を周波数比3:2の純正な完全五度に基づいて導出する音律である^[1]。

ピタゴラス音律は初期ルネサンスまでの西洋音楽の標準的な音律であり、また中国や日本の伝統音楽の音律も同様の原理に基づくものである（三分損益法）。

ピタゴラス音律では純正な五度と四度の音程が得られるが、三度と六度は純正にならない。ルネサンス音楽において三度と六度の使用が増えると、五度を狭めることによって三度をより純正に近づける中全音律が普及した。

■下の正弦波の加法定理より、その関係の周波数の音の和は、周波数を簡単な数字で表し、オクターブ内で考え、１と３／４とすれば、
３．５／４＋０．５／４
と
３．５／４ー０．５／４
の和になり、３．５の周波数が、０．５のうなりを持つことになる。

つまり、和音はうなり波となり、周波数の１／７のうなりを持つことになる。
コレが最も心地よく、１２音はここから生まれた。

逆に、

　上のように、１：３の周波数を合わせると、最も簡単な比率の変調波が出てくることがわかる。

　１オクターブ間で、これを繰り返すと１２音が出てくる。これを純正律という。

つまり、まず基音１を３倍して２で割りまくり、オクターブ内に収める。そしてその音を３倍して、２で割りまくりオクターブ内に収める。それを２付近を大きく超えないように繰り返すと次のようになる。

https://youtu.be/b2gQuEqzuaM?t=333

によればこうなる。

　となり、やや、循環してしまう。同じにはならないが・・・

　１２を周期としているようだ。ここから１２が出てきたようだ・・・

　書き換えれば、

近似的に、１オクターブ（２）を１２平方根で分けてしまったものを平均律という。つまり、

　　　　　　　　１．０６＾１２＝２

これを比べてみた。

　　　ピタゴラス律　　　　　　平均律

音階間の比率は、奇跡的に、平均律の１．０６０に近い。

■純正律

平均律、純正律、ピタゴラス～音律の話 - MUSICA PINOCO (musica-pinoco.com)

から・・・

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じゃぁ純正律最高！になるのでしょうか。実は、純正律にも弱点があります。
もともと純正律はピタゴラス音律にちょっと手を加えてできた音律です。どうしても、ピタゴラスのコンマが邪魔をするのです。

どういうことかというと、調（ハ長調とは、ト短調とかですね）が変われば、全く同じ音名でも、高さが微妙に変わってしまうんです。

要は、どの音を基として、12音作っていくかで、結果同じ音名でも微妙に違う音ができるということです。

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純正律 - Wikipedia

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平均律の誕生

純正律までで正確な音を出そうとすると、バイオリンのように奏者が自由に音を変えられる楽器でないと、調律した調以外の曲が弾けないことになってしまいます。曲の途中で転調するとか、もっての外ですね。

そこで、同じ調律で様々な調の曲を自由に弾けるように、平均律が作られました。

平均律では、全ての音の間隔が等間隔です。代わりに、綺麗な調和を捨て、いつでも好きな調をそれなりに綺麗に奏でられる、妥協を選びました。

今現在耳にするほとんどの音楽は平均律が使われています。ピアノやギターは平均律の楽器です。

正直、ピアノやギターを弾く人は音の唸りなんてあまり気にしないと思うので（常識の範囲内であれば）どうでもよいことでしょう。

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平均律と純正律の和音の比較
および協和音・不協和音の考察
2003/3/26 平野拓一（東京工業大学）

temp_just.pdf (takuichi.net)

* これらの比は音楽の理論に載っているものとは違います。ここで求めた求め方は「音階・音律について」のホームページの「純正律の説明と Mathematica による純正律の分割比の計算法」の方法のように 1から 16 までの整数を分母、分子にして平均律に一番近い数を力技で求めたからです。実際は括弧内の分数で、ハーモニクス（フラジョレット）を利用して完全 5 度と長 3 度の分数の掛け算を繰り返して行うようです。しかし、そもそも純正律では全音階の音階しか扱うことを考えておらず、昔から#や♭がついた音など扱おうとしていなかったようです。だから上の表で#や♭が付いたところを訂正してはありますが、まだ正確ではありません（と言うか、しっかりした理論がありませんでした）。しかし、最近はそれを完全純正律として理論体系化した方がいらっしゃいます(「純正律音楽工房」の高梨正義さんです。http://www.ne.jp/asahi/mariko/takanashi/masa/index.html)

1 に平均律と純正律の C の周波数で規格化した音階の周波数倍率表を示す。純正律で
はある音を基準としたとき、他の音の周波数は基準音の周波数の有理数（分数で表される数）倍となっている。純正律は和音がとても美しく響くのが特徴である。しかしその美しい響きも限られた和音だけであり、転調してしまうともう完全にくずれてしまう。使いやすさからいったら平均律にはかなわないのだが、音楽やコーラスが専門の人の中には（？・・・実はエンジニアかもしれない）その和音の美しさに魅了されて虜になっている人が多い。非常にマニアックなオタク（マニアオタク）が集まる分野である。
平均律と純正律の和音の比較 4/4/2003 page 3 of 14 2. 純正律の和音の美しさ純正律ではある音を基準としたとき、他の音の周波数は基準音の周波数の有理数（分数で表される数）倍となっている。式で書くと、 0f を基準音の周波数としたとき、m,n を整数
としてmn f f 1 = 0 (1)
と書くことができる。式変形すると mf1 = nf 0 , f 0 : f1 = m : n となり、２つの周波数は整数比で表されることになる(音波の速度をv とすると、波長は 0 0 λ = v / f , 1 1 λ = v / f と表される。 λ0 : λ1 = n : m )。平均律では 1/12 2 (2 の 12 乗根)を次々と掛けることになるので1/12 12n (2 ) 以外は無理数倍となっており、一般には２つの異なる音の周波数は整数比で表すことができない。

さて、ではなぜ２つの周波数が整数比になっているとよいのだろうか？「音の周波数解
析（音色について）」で持続音は周期波形になっており、それゆえ基音と倍音の和で任意の周期波形を表すことができる、逆に言えば、任意の周期波形を基音と倍音に分解することができることを説明した。今、和音（高さの違う２つ以上の音を同時に鳴らすこと）を鳴らすことを考えてみよう。簡単のために高さの違う２つの音 1、音 2 を同時に鳴らすことを考える。すると、もちろん音 1、音 2 の基音は異なっているのだが、その倍音の周波数はどこかで一致する可能性がある。純正律では実際にそのようになり、図 1 にその様子を示す。横軸は最低音の基音の周波数で規格化した周波数である。これは C, E, G の長３和音（基本位置）を示したものであり、赤い線が C、青い線が E、緑の線が G を示している。縦軸には特に意味がないが、ずらして倍音が重なる位置が分かりやすいように描いた。C の 5 倍音と E の 4 倍音が完全に一致しているのがわかる。また、C の 3 倍音と E の 2 倍音が完全に一致している。