マクスウェル方程式 E,D,H,Bの整理
難しいＥ，Ｄ，Ｈ，Ｂの関係を考え、Ｂ－Ｈ特性の意味を明らかにする
難しいＥ，Ｄ，Ｈ，Ｂの関係をＥ－Ｂ対応の考え方で整理し、
Ｂ－Ｈ特性の意味を明らかにする
■まずＥ，Ｄについて
電界Ｅｅｘの中に誘電率ε＝εｓ＊ε０の誘電体があり、かけた電界ＥｅｘによりＰに分極しているとする。Ｅはその結果の誘電体内の電界、ε０は真空の誘電率、εｓは比誘電率とする。すると、
ε０＊Ｅｅｘ＝ε０＊Ｅ＋Ｐ
となる。磁性体内で本質的な磁場の強さＢは、ＢｅｘがＭにより強められるのとは逆に、誘電体では本質的な電場の強さＥは、Ｐにより弱められる。 上の式で、副変数Ｄは、
Ｄ＝ε０＊Ｅｅｘ
と置かれる。つまり、
D＝ε０＊Ｅ＋Ｐ＝ε０＊εｓ＊Ｅ
誘電体内の電界Ｅは、
Ｅ＝Ｅｅｘ－Ｐ／ε０
となり、磁性体とは逆になる。さらに、
Ｄ＝ε０＊Ｅｅｘ
だから、
ε０＊Ｅｅｘ＝ε０＊εｓ＊Ｅ
Ｅ＝Ｅｅｘ／εｓ
これは磁場理論とは逆である。この逆転は、電場ではＥが、磁場ではＢが本質的な（副変数ではないという意味）変数であるということに対応している。 磁場理論では磁性体内の磁場強さＢは加えたＢｅｘと生じたＭの和であるのに、 電場理論では誘電体内の電場強さＥは加えたＥｅｘから生じたＰを引いたものとなっている。
この逆転は、磁場理論ではＢを、電場理論ではＥを本質的な量とすることにより、形式的には、
Ｄ＝ε０＊Ｅ＋Ｐ
Ｂ＝μ０＊Ｈ＋Ｍ
と対称な形となっている。しばしば誰もが疑問に思うことは、これらの式中のＤ，Ｅ，Ｂ，Ｈがなんなのか、ということだ。上にあるように、
Ｄ／ε０
は誘電体にかけた電界、 Ｅは誘電体内の電界、 Ｂは磁性体内の磁束密度、μ０＊Ｈは磁性体にかけた磁束密度である。このように考えると線形な誘電体では、
Ｐ＝χｐ＊Ｅｅｘ＝χｐ＊Ｄ／ε０
となることが想定されるので、
Ｄ＝ε０＊Ｅ＋Ｐ＝ε０＊Ｅ＋χｐ＊Ｄ
これから、
Ｄ（１－χｐ）＝ε０＊Ｅ
Ｄ＝（ε０／（１－χｐ））＊Ｅ
ここで、
ε≜ε０／（１－χｐ）
とすれば、
Ｄ＝ε＊Ｅ
と書ける。Ｐによる電界は、Ｅｅｘを打ち消す方向にあるから、Ｐは
Ｐｍａｘ＝ε０＊Ｅｅｘ
（Ｐが無限平板であるとき、内部電界はＰ／ε０になるから）
より大きくはなれない。このときＰの発生原因である電界が＝０になるからである。よって、
χｐ＜１
これから、
ε／ε０＝１／（１－χｐ）＞１
であることがわかる。
■次にＨ，Ｂについて
こんどはＨが副変数になります。これは歴史的なところから理解しなければなりませぬ。
磁束密度Ｂｅｘの中に透磁率μ＝μｓ＊μ０の磁性体があり、ＢｅｘによりＭに磁化しているとする。μ０は真空の誘電率、μｓは比透磁率。ＭはＢｅｘに比例するとする。Ｍを磁性体の磁化とすると、その場の磁束密度Ｂｍは、
Ｂｍ＝Ｂｅｘ＋Ｍ
となる。ここで、
Ｂｅｘ＝μ０＊Ｈ
という副変数Ｈを導入する。
Ｈ≜Ｂｅｘ／μ０＝（Ｂｍ－Ｍ）／μ０
このＨは、磁化Ｍの原因となった磁束密度Ｂｅｘの１／μ０であるということだ。
ようやくすれば、磁束密度Ｂｅｘにμｓの磁性体を置くと、その内部の磁束密度Ｂｍは、
Ｂｍ＝Ｂｅｘ＋Ｍ
となる。Ｈは、
Ｈ＝（Ｂｍ－Ｍ）／μ０＝Ｂｅｘ／μ０
で定義された副変数である。しかし、μ０＊Ｈはいたるところで、磁性体が磁化する原因となった磁束密度である。つまり、上のＰと同じようにＭはＨに比例する、とかんがえるのが妥当である。
Ｍ＝χｍ＊Ｈ
すると、
Ｂ＝μ０＊Ｈ＋μ０＊χｍ＋Ｈ＝μ０（１＋χｍ）＊Ｈ
ここで、
μ≜μ０（１＋χｍ）＞１
を定義すれば、
Ｂ＝μ＊Ｈ
となる。
■磁性体のＢ－Ｈ特性とは？
つまり、Ｈ＊μ０は実際の磁束密度Ｂｍ（磁性体が存在する）からＭをひいたもの、磁性体の磁化Ｍの効果を差し引いたもの、つまりＢｅｘを表している。
だから、磁性体のＢーＨ特性とは、ＢｅｘとＢｍの関係を表しているということでちゅ。しかし、ＢｅｘではなくＢｅｘ／μ０を使うのである。
このＨはアンペール則により、磁性体に関係なく電流・起磁力のみによりきまるのである。ここが肝心だ。つまり、Ｈを起磁力により決定し、そのご磁性体のμからいたるところの磁束密度を決めていくのである。
Ｈ≜（Ｂ－Ｍ）／μ０
とし、 磁性体が点在するときを考える。
まず、
∲（Ｍ／μ０）・ｄｌ
を考え、次のように変形する
∬ｒｏｔ（Ｍ／μ０）・ｎｄＳ
ここで
Ｊｍ≜ｒｏｔ（Ｍ／μ０）
と置くと、
Ｉｍ＝∬（Ｊｍ）・ｎｄＳ
という電流にみなせることがわかる。
すると、真電流Ｉ０も加えると全電流Ｉｔｏｔは
Ｉｔｏｔ＝Ｉ０＋Ｉｍ
これで、磁性体のＭを電流換算できた。
磁性体がなく、電流Ｉ０，Ｉｍのみがある場合、アンペール則より
∲（Ｂ／μ０）・ｄｌ＝Ｉｍ＋Ｉ０
は成り立つ。上から、
Ｉｍ＝∲（Ｍ／μ０）・ｄｌ
だから、これを逆にたどり、空間に磁性体があるときも
∲（Ｂ／μ０）・ｄｌー∲（Ｍ／μ０）・ｄｌ ＝Ｉ０
∲（（Ｂ－Ｍ）／μ０）・ｄｌ＝Ｉ０
Ｈの定義より
∲Ｈ・ｄｌ＝Ｉ０
となり、この式は空間に磁性体があっても成り立つことになる。
■
磁性体内では外部磁場Ｂｅｘ、Ｍ，Ｍによる磁束密度はみな同じ方向
誘電体内では、外部電界ＥｅｘとＰは同じ方向。Ｐによる電界は逆向きとなり、内部電界はＥｅｘより小さくなる。
磁性体のＭはソレノイド（コイル）による電磁石のようなものと考えていい。だから内部のＢの方向はＭと同じ。
しかし、誘電体Ｐは分極した＋－の電荷によって生まれ、－から＋に向かう方向にとる。これは外部電界Ｅｅｘと同じ向きになる。しかし、この電荷による電界はＥｅｘと逆向きになる。この点で磁性体とは逆になる。
磁性体と誘電体の扱いはこのように完全には対称的ではない。 Ｅ－Ｂ対応の考えでは、 磁性体では本質的な変数Ｂは、磁性体内の磁束密度となっていて、 誘電体でも本質的な変数Ｅは、誘電体内の電界となっている。
ＭとＰの効果は逆であるが、Ｂ、Ｅを主要変数とすることで、 Ｅ，Ｄ，Ｈ，Ｂの関係式は対称的な形となっている。
