ネイピア数（ｅ＝２．７１８２８・・・）に関連して、特に数列の収束について、詳しく説明してみる。
また、ここでの知識は、オイラーの公式につながっていく。
オイラーの公式（ｅ＾（ｉｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ）の証明（テーラ展開を使わない） - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
この本から関連部分だけを引用する
■ 準備である
定理１ 数列ａｎが
（１）単調非減少である。すなわち。ａ１≦ａ２≦・・・≦ａｎ
（２）上方に有界である。すなわちａｎ≦ＢなるＢが存在する。
とき、この数列は収束する。
証明 まずε＞０を考え、ａ１とＢの間をｍ等分する。
ただしｍ＞（Ｂーａ１）／εとする。このとき、各区間はεより小さい。
この区間は左端は除き、右端を含むものとする。つまり区間の両端をａ’、ｂ’とすると、その区間内の点ｘは次の不等式を満足するものとする。
ａ’＜ｘ≦ｂ’
このようなｍ個の区間の中で、この数列の項を含むような区間でもっとも右側にあるものを（ａ’、ｂ’］とすると、ｂ’の右方には数列の項は存在しないから、すべてのｋに対して、
ａｋ≦ｂ’
また（ａ’、ｂ’］に含まれている項の１つをａｎとするとａｎ≦ａｎ＋１≦・・・であるから、
ａ’＜ａｎ、ａｎ＋１、・・・≦ｂ’
となり、ｎから先の項はすべてこの区間に含まれる。この区間に含まれない項はあっても、
ａ１～ａｎー１
の中にしかないので、有限個である。
つまり任意のεよりみじかい区間（ａ’、ｂ’］をとって、そのなかには無限項、その他には有限項しかないようにできる。
だから収束の条件によって、この数列は収束する。
この定理は数列の理論において極めて重要な役割を演ずる。
定理３ ａｉ＞０（ｉ＝１～ｎ）のとき、次の不等式が成立する。
（１＋ａ１）（１＋ａ２）・・・（１＋ａｎ）＞１＋ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ
証明 そのまま展開する。
（１＋ａ１）（１＋ａ２）・・・（１＋ａｎ）
＝１＋ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ
＋（ａ１ａ２＋・・・ａn-1ａｎ）
＋・・・＞１＋ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ
これと並んで、次の不等式が成り立つが、証明は難しい。
定理４ ０＜ａｉ＜１（ｉ＝１～ｎ）の時、次の不等式が成り立つ。
（１ーａ１）（１ーａ２）・・・（１ーａｎ）＞１ー（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ）
証明 数学的帰納法を用いる。
（１）ｎ＝２のときには、
（１ーａ１）（１ーａ２）＞１ー（ａ１＋ａ２）
定理は正しい。
（２）ｎー１の時正しいとすれば、
（１ーａ１）（１ーａ２）・・・（１ーａｎー１）
＞１ー（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎー１）
両辺に（１－ａｎ）＞０をかければ、
（１ーａ１）（１ーａ２）・・・（１ーａｎー１）（１－ａｎ）
＞（１ー（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎー１））（１－ａｎ）
＝１－（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ）＋（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎー１）ａｎ
＞１－（ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ）
ｎのときも正しい。証明は完了した。
以上の場合、
ａ１～ａｎ＝ａ
とすれば次の不等式が成り立つ。
定理５ ０＜ａのとき、
（１＋ａ）＾ｎ＞１＋ｎａ（ｎ≧２）
定理６ ０＜ａ＜１のとき、
（１－ａ）＾ｎ＞１－ｎａ（ｎ≧２）
■ここから本題である。
■例５ ａｎ＝（１＋１／ｎ）＾（ｎ＋１）が収束することの証明。
すなわち、
つまり、単調非増加である。そして、
であるから、下方に有界である。
だから、ａｎは収束する。
■例６
が収束することの証明
前の例でａｎが単調非増加であるから、
したがってｂｎ＜４，つまりｂｎは上方に有界である。
次に
定理６によって
だからｂｎ－１＜ｂｎつまりｂｎは単調非減少。特にｂｎ－１＜ｂｎだから単調増加である。だから定理１によってｂｎは収束する。
前のａｎと比べると、
だから、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）（ａｎーｂｎ）＝０
したがって
ｌｉｍ（ｎー＞∞）ａｎーｌｉｍ（ｎー＞∞）ｂｎ＝０
つまり、
ｌｉｍ（ｎー＞∞）ａｎ＝ｌｉｍ（ｎー＞∞）ｂｎ
この極限をｅとする。
ｅ＝２．７１８２８・・・
[http://:title]
