ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2013/1/17）投稿日：2013/1/13

ブロッホ関数、還元ゾーン、バンド理論

ブロッホ関数に関しては

ブロッホ定理（Bloch's theorem）のわかりやすい解説　１（ついに出た！） - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)

をも参照ください。これまでになく、少なくともキッテル本より詳しく書いてあります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　これらの本は読まないこと

■よくわからない還元ゾーン形式、なんでこんなことするの？

　　　　　　　図１　自由電子のｋ－Ｅの関係

　図１のＡが自由電子のｋとＥの関係である。E=D*k^2の形になる。

　１次元の結晶を考え、ｇ＝２π／ａ、ａを格子定数とする。ｇは逆格子ベクトルの最小値である。そうしたときＡはＢのようにも書ける。これは、たとえば第２バンドでは波動関数はＡ表示では、

　　　　　C*exp(ikx) ここで、g/2<k<g、-g<k<-g/2

となるが、これを

C* exp(-igx)*exp(ikx) ここで、-g/2<k<g/2

とする。E=D*(g-k)^2 となっている。

　第３バンドではＡ表示では、

C*exp(ikx) ここで、g<k<3g/2、-3g/2<k<-g

となるが、これを、

　　　　C*exp(igx)*exp(ikx) 　　ここで、-g/2<k<g/2

とする。E=D*(g+k)^2となっている。exp(-igx),exp(igx)はaの周期をもつのでブロッホ関数である。

　つまり、kが-g/2からg/2の範囲にない場合、k+ng　がその範囲に入るようなｎを選び、q=k+ng をもってこの状態を表すのである。であるからして、同じqでもngの値によってエネルギーが違う。その区別がバンドである。

　http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n145469

には周期的ポテンシャルＶがある場合、波動関数をフーリエ積分で表したとき、その係数Ｃ（ｋ）の満足すべき方程式（ｃ）式が示されている。これをｑをｋに書き換えて示すと、

　　　　[(h*k)^2/(2m)-E]C(k)+Σ_{G}V(G)C(k-G)=0

であるが、自由電子なのでＶ（Ｇ）＝０であるから、

　　　　[(h*k)^2/(2m)-E]C(k)=0

となり、　[(h*k)^2/(2m)-E]＝０　のとき、Ｃ（k）は存在できる。

　そこで、E=(h*k)^2/(2m)　である。もし、-g/2<k<g/2 でない場合、上のようにk+ng　がその範囲に入るようなｎを選び、q=k+ng をもってこの状態を表すと、

　　　　　　　　　　C(k)*exp(-ingx)*exp(iqx)

となる。これが還元ゾーン形式で表した自由電子の波動関数である。このエネルギーは、

E=(h*(q-ng))^2/(2m)　

となり、これはなんの不思議もなく納得できる。

　話もどって、exp(ikx)のＥは(h*(k)^2/(2m)　である。ここで、もしkがg/2を超えたら波動関数にexp(-igx)を掛け、Eの式のなかのkからgを差し引くのである。さらにkが3g/2を超えたとき、これに対応した波動関数にexp(-i2gx)を掛け、Eの式の中のｋから２ｇを差し引くのである。こうすると、k-Eグラフはkに対して周期的になるのである。これも当たり前で納得できる。

■周期的ポテンシャルのある場合