回路における相反定理を３次元の具体例で証明する
図１の４端子回路を考える.。ここで、相反定理
ｅ１／ｉ２＝ｅ２／ｉ１
が成り立つことを証明する。
図１ ４端子回路
図２ ４端子回路の内部回路網の例
図２の回路網の方程式は、
ｉ１＊（ｚ１＋ｚ３＋ｚ４）＋ｉ２＊（－ｚ４）＋ｉ３＊（－ｚ３）
＝ｅ１
ｉ１＊（ーｚ４）＋ｉ２＊（ｚ４＋ｚ５＋ｚ６）＋ｉ３＊（－ｚ５）
＝ｅ２
ｉ１＊（ーｚ３）＋ｉ２＊（－ｚ５）＋ｉ３＊（ｚ２＋ｚ３＋ｚ５）
＝０
つまり、
Ａ＊Ｉ＝Ｅ
は次の形になる。Ａは対称行列となる。
ここで、行列Ａの逆行列Ｘを考える。
ａｉｊをＡの余因子とすれば、
Ｘは対称行列、つまり、次の形になる。
となる。つまり、
ｉ１＝Ａ＊ｅ１＋Ｄ＊ｅ２
ｉ２＝Ｄ＊ｅ１＋Ｂ＊ｅ２
つまり、
ｅ１のみ存在するときのｉ２とｅ１の関係は、
ｉ２＝Ｄ＊ｅ１
ｅ２のみ存在するときのｉ１とｅ２の関係は、
ｉ１＝Ｄ＊ｅ２
となり、
ｅ１／ｉ２＝ｅ２／ｉ１
となり、相反定理が証明された。
もし、図３のようであっても同様に証明できる。
図３ さらに複雑な場合
一般では、
Ｉｉ＝ａｉｉ＊ｅｉ＋ａｉｊ＊ｅｊ
Ｉｊ＝ａｊｉ＊ｅｉ＋ａｊｊ＊ｅｊ
ここで、
ａｉｊ＝ａｊｉ
であるから、
上と同様に相反定理が成り立つ。
